4 Autos für 10 Mitarbeiter

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Mathewicht2 Auf diesen Beitrag antworten »
4 Autos für 10 Mitarbeiter
Hallo,

ich hoffe, ihr könnt mir bei der folgenden Aufgabe helfen:

In einer Firma teilen sich 10 Mitarbeiter 4 Dienstwagen. Innerhalb eines 8-Stunden Tages braucht jeder Mitarbeiten für 80 Minuten einen Wagen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen die 4 Dienstwagen aus?

Mein Ansatz:

8 * 60 = 480 Minuten

p = 80 / 480 = 1/6

Die Aufgabe wird unter "Anwendung der Binomialverteilung" gestellt. Vermutlich wird die Aufgabe also auf n = 10, p = 1/6 und

P(X <= 4)

hinauslaufen.

Das könnte ich jetzt schon ausrechnen! Nur ich verstehe den Ansatz nicht! Wieso ist das eine Binomialverteilung? Wie muss man das modellieren? Muss ich 10 Intervalle der Länge 80 überlagern? Ich verstehe einfach nicht, wie man da vorgehen muss! Oder ist meine vermutete "Lösung" gar nicht richtig?

Ich bin am verzweifeln!
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 4 Autos für 10 Mitarbeiter
Die vorliegende Aufgabe ist miserabel formuliert; es sind mehrere Modelle denkbar.
Eines davon wäre folgendes:
Der 8-Stundentag wird in 6 Intervalle à 80 Minuten eingeteilt.
Jeder von 10 Mitarbeitern wählt mit gleicher W'keit genau eines der 6 «Zeitfenster».
Berechne die W'keit, dass kein Zeitfenster mehr als 4 mal gewählt wird.
 
 
Mathewicht2 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe. Unter dieser Annahme würde die von mir angedachte Lösung greifen.

Wenn die Mitarbeiter zu irgend einem beliebigen Zeitpunkt den Wagen für 80 Minuten ausleihen und diese Ausleihen im 8-Stunden Intervall gleichverteilt wären, dann würde man die Aufgabe wohl nicht mehr so einfach lösen können? Oder doch?
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann sie nichteinmal in meiner Formulierung einfach lösen (und bin heute abend zu müde dafür).
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

@abc2011

Die Siebformel nutzend ist das mit vergleichsweise geringem Aufwand berechenbar.
mathewicht2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Siebformel verstehe ich. Da gibt es einen Beitrag von "AD", da geht es um Enten und Jäger ... da wird die Verteilung exemplarisch hergeleitet. Und abgewandelt, kann man das hier dann auch anwenden.

Nur ist diese Aufgabe mit den 6 Autos und 10 Mitarbeitern aus einem Schulbuch. Die steht mitten zwischen vollkommen einfachen Aufgaben zur Binomialverteilung.

Dass man die Zeit in disjunkte Intervalle von 80 Minuten aufteilen soll, ist in der Aufgabe nirgendwo vermerkt. Und die dafür erfoderliche komplexe Lösung mit der Siebformel ist sicher auch nicht so vorgesehen.

Wie kann man denn diese vertrackte Aufgabe lösen?

Übrigens ... ein paar Aufgaben weiter kommt dann noch eine ganz ähnliche Aufgabe: da teilen sich 10 PCs drei Drucker. Jeder PC benötigt für 3 Minuten pro Stunde einen Drucker. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass die drei Drucker ausreichen. Das ist die gleiche Aufgabenstrukur. Irgendwie muss das anders zu lösen sein!
Mathewicht2 Auf diesen Beitrag antworten »

es muss natürlich VIER Autos heißen!
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe wird mit der Binomialverteilung gelöst.

Man betrachtet ein beliebiges, beliebig kleines Zeitintervall im verfügbaren Zeitraum von 8 Stunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter zu diesem Zeitpunkt einen Dienstwagen benötigt ist 1/6.

Die Anzahl der von den 10 Mitarbeitern benötigten Dienstwagen zu diesem Zeitpunkt ist dann binomialverteilt mit n=10 und p=1/6. Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

P(X<=4) = ...

Die andere Aufgabe mit den PCs löst man genauso. Hier ist n=10 und p=0,05. Die gesuchte Ws'keit dafür, dass drei Drucker ausreichen ist damit

P(X<=3) = 0,999

Wie irreführend die Aufgabe gestellt ist, sieht man daran, wenn man fragt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass NULL Drucker ausreichen:

P(X=0) = 0,5987 = 59,87 %

Dass Null Drucker irgendwie ausreichend für 10 PCs sein sollen, kann man daraus eben NICHT ableiten! Die Aussage ist einfach, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der Wahrscheinlichkeit 59,87% gerade kein Drucker benötigt wird. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BarneyG.
Die Anzahl der von den 10 Mitarbeitern benötigten Dienstwagen zu diesem Zeitpunkt ist dann binomialverteilt mit n=10 und p=1/6. Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

P(X<=4) = ...

Damit hat man nur die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass zu genau jenem Zeitpunkt die vier Wagen ausreichen - aber nicht, dass diese vier Wagen den ganzen Tag über reichen.
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso isses!

Das Argument das hier verwendet wird ist, dass diese Wahrscheinlichkeit für jeden "Zeitpunkt" (wobei es sich ja eigentlich um ein Intervall handelt) gleich groß ist.

Mit der Frage, ob die Dienstfahrzeuge ausreichen oder nicht, hat die Rechnung herzlich wenig zu tun.

Tatsächlich gibt es an dieser Aufgabe noch sehr viel mehr zu kritisieren. Die Ereignisse sind nämlich nicht unabhängig! Denn wenn jemand etwa um 9:30 keinen Dienstwagen bekommt, dann wird er darauf warten, dass ein Wagen zurückkkommt, um den zu ergattern. Gleiches gilt für die Drucker, wo die Aufträge in eine Druckerwarteschlange gestellt werden. Damit ändert sich aber die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse ganz massiv. Außerdem wird niemand einen Dienstwagen minutenweise für Minifahrten ausleihen, sondern eher wenige aber dafür längere Dienstfahrten machen. Gleiches gilt für Druckaufträge. Die Zufallsvariable ist also alles andere als binomialverteilt.

Ich kenne das Lehrbuch aus dem diese Aufgaben vermutlich stammen. Daher weiß ich, welche "Lösung" hier verlangt wird ... smile
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BarneyG.
Die Aufgabe wird mit der Binomialverteilung gelöst.
Man betrachtet ein beliebiges, beliebig kleines Zeitintervall im verfügbaren Zeitraum von 8 Stunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter zu diesem Zeitpunkt einen Dienstwagen benötigt ist 1/6.


Wie kann man das plausibel machen? (Man betrachtet ja dann für die «binomiale» Rechnung nur einen einzigen Zeitpunkt, oder?)
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