Isomorphietyp(en) von Gruppe der Ordnung 45.

23.02.2011, 21:17

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Isomorphietyp(en) von Gruppe der Ordnung 45.

Guten Abend,

ich möchte gerne die Isomorphietypen der Gruppe mit der Ordnung 45 bestimmen. Da ich außer der Ordnung über die Gruppe nichts weiß, fange ich an diese zunächst in Primfaktoren zu zerlegen.

Also $\begin{eqnarray*} \left| G \right|=3^2\cdot5 \end{eqnarray*}$

Nun kann ich evtl. die Anzahl der Sylowgruppen bestimmen. Die Sylowgruppen der Ordnung 5 sind dann isomorph zu einer zyklischen Gruppe der Ordnung 5, da alle Gruppen von Primzahlordnung isomoroph zu einer Zyklischen selbiger Ordnung sind. Und die 3-Sylowgruppen sind isomorph zu einer zyklischen Gruppe der Ordnung 9 und dem direkten Produkt zweier zyklischer Gruppen der Ordnung 3(, aufgrund eines entsprechenden Lemmas).

Also $\begin{eqnarray*} \left| Syl_5(G) \right|\equiv1\ (mod\ 5),\ \left| Syl_5(G) \right|\ \mid\ 3^2\ \Rightarrow\ \left| Syl_5(G) \right|=1 \end{eqnarray*}$
Analog erhält man $\begin{eqnarray*} \left| Syl_3(G) \right|=1 \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung ist jetzt, dass die Isomorphietypen von G $\begin{eqnarray*} C_9 \times C_5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_3 \times C_3 \times C_5 \end{eqnarray*}$ sind. Allerdings, falls das so ist, woher weiß ich das genau? Und falls es nicht so ist, wie finde ich heraus welche es nun sind. Oder gibt es einen ganz anderen Ansatz als den über die Sylowgruppen?

Vielen Dank im Voraus für die Mühe einer Antwort!

Jan

23.02.2011, 21:32

C3P0

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
also deine Vermutung ist richtig.
Du hast ja schon herausgefunden, dass es nur je eine Sylow-3- bzw. Sylow-5-UG gibt, diese sind dann beide Normalteiler von G. Sei $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ die Sylow-3-UG und $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ die Sylow-5-UG. Überlege dir, dass dann $\begin{eqnarray*} G=S_3 \times S_5 \end{eqnarray*}$ folgt.
Nun kennst du die beiden möglichen Isomorphietypen von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ , und du weißt, dass $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ zyklisch ist. Dann stehts im Prinzip da.

Kleiner Hinweis:

Zitat:

Und die 3-Sylowgruppen sind isomorph zu einer zyklischen Gruppe der Ordnung 9 und dem direkten Produkt zweier zyklischer Gruppen der Ordnung 3

Hier müsste ein oder stehen, es kann ja nicht beides gleichzeitig gelten.

Grüße

24.02.2011, 01:07

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du hast ja schon herausgefunden, dass es nur je eine Sylow-3- bzw. Sylow-5-UG gibt, diese sind dann beide Normalteiler von G. Sei die Sylow-3-UG und die Sylow-5-UG. Überlege dir, dass dann folgt.

Ah ja, da die p-Sylowgruppen zueinander konjugiert sind und da es jeweils nur eine gibt, habe ich Normalteiler.
Nun gilt $\begin{eqnarray*} S_3 \cap S_5={1} \end{eqnarray*}$ , da es kein Element der Ordnung 5 in $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ gibt und umgekehrt.
Außerdem $\begin{eqnarray*} \left| S_3 \right| \cdot \left| S_5 \right| = 45 = \left| G \right| \end{eqnarray*}$ , woraus man folgert, dass G direktes Produkt von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Nun kennst du die beiden möglichen Isomorphietypen von

, und du weißt, dass

zyklisch ist. Dann stehts im Prinzip da.

Also da kann ich mir jetzt nicht so richtig einen Reim drauf machen. Ja, ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ zyklisch ist, daraus kann ich noch folgern, dass $\begin{eqnarray*} C_5 \times C_3 = C_15 \end{eqnarray*}$ zyklisch ist. Dann könnte ich G also als Produkt
von 2 zyklischen Untergruppen schreiben, also $\begin{eqnarray*} C_3 \times C_15 \cong G \end{eqnarray*}$ . Aber ist das besonders toll? Und wenn ja, warum? Du hattest gesagt, meine Vermutung sei richtig, dass heißt es gilt ebenfalls $\begin{eqnarray*} C_9 \times C_5 \cong G \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} C_9 \end{eqnarray*}$ weiß ich nur, dass sie abelsch ist, also wäre dies kein Produkt zyklischer Untergruppen. Übersehe ich irgendwas?

Vielen Dank für deine Hilfe soweit, habe doch das Gefühl endlich ein bißchen weiter zu kommen.

24.02.2011, 02:06

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} S_3 \cap S_5 \end{eqnarray*}$ als Schnitt zweier Sylow-Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen trivial ist. Es stellt sich nur noch die Frage, ob $\begin{eqnarray*} S_3 \cong C_3 \times C_3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} S_3 \cong C_9 \end{eqnarray*}$ . Welcher dieser beiden Fälle ist denn ausgeschlossen? (Hinweis: Wie kann man elementar begründen, warum $\begin{eqnarray*} C_3 \times C_3 \end{eqnarray*}$ nicht isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} C_9 \end{eqnarray*}$ ?)

24.02.2011, 02:29

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo 42,

gibt es hier also nur einen Isomorphietyp? Oder wie darf ich deinen post verstehen? Frage eine Leserin Wink

Wink

24.02.2011, 02:58

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sorry, da hatte ich mich dummerweise gerade selbst vertan. Danke für Deine Nachfrage.
Es gibt genau die beiden unterschiedlichen Isomorphieklassen $\begin{eqnarray*} C_5 \times C_3^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_5 \times C_9 \end{eqnarray*}$ .

Ich denke, worum es Jan T. geht, ist folgendes:

Zitat:

Original von Jan T.
[...] Dann könnte ich G also als Produkt
von 2 zyklischen Untergruppen schreiben, also $\begin{eqnarray*} C_3 \times C_15 \cong G \end{eqnarray*}$ . Aber ist das besonders toll? Und wenn ja, warum? Du hattest gesagt, meine Vermutung sei richtig, dass heißt es gilt ebenfalls $\begin{eqnarray*} C_9 \times C_5 \cong G \end{eqnarray*}$ [...]

Beide Fälle sind möglich, aber eben unterschiedlich, da $\begin{eqnarray*} C_3 \times C_{15} \cong C_3 \times C_3 \times C_5 \not \cong C_9 \times C_5 \end{eqnarray*}$ .

Anzeige

24.02.2011, 03:10

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

(C3PO)

Überlege dir, dass dann $\begin{eqnarray*} G=S_3 \times S_5 \end{eqnarray*}$ folgt.
Nun kennst du die beiden möglichen Isomorphietypen von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ , und du weißt, dass $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ zyklisch ist. Dann stehts im Prinzip da.

Ich hatte ihn (C3PO) so verstanden, dass dies der Auftrag ist. (In meinem Buch ist das Teil eines Satzes.) Dann muss er nur noch die beiden Isomorphietypen hinschreiben. (Und da hatte ich das Gefühl, Jan sah das Ziel nicht)

Also es gilt $\begin{eqnarray*} G=S_3 \times S_5 \end{eqnarray*}$ und mit vorherigen Überlegungen erhalten wir die I-Typen $\begin{eqnarray*} G \cong C_9 \times C_5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \cong C_3 \times C_3 \times C_5 \end{eqnarray*}$ .

24.02.2011, 07:34

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Ich hatte ihn (C3PO) so verstanden, dass dies der Auftrag ist.

Der Auftrag war m.E. einfach zu erkennen, dass $\begin{eqnarray*} |S_3 \cap S_5| =1 \end{eqnarray*}$ gilt und daher G direkt in seine Sylowgruppen zerlegbar ist... Dieser "Auftrag" wurde dann ja dann auch in der Folge von Jan erfüllt...

24.02.2011, 10:06

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir ist jetzt klar, dass

und

die möglichen Isomorphietypen sind, bzw. sein sollen.

Aber was hat explizit der Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ zyklisch ist, damit zu tun?

Zitat:

Nun kennst du die beiden möglichen Isomorphietypen von

, und du weißt, dass
zyklisch ist. Dann stehts im Prinzip da.

Danke für die zahlreichen Beteiligungen und Richtigstellungen bis zu dieser Stelle.

24.02.2011, 10:56

C3P0

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, das war so gemeint:
Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} G=S_3\times S_5 \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray*} S_5 \cong C_5 \end{eqnarray*}$ . Also haben wir schonmal $\begin{eqnarray*} G\cong S_3 \times C_5 \end{eqnarray*}$ .
Nun bleibt eigentlich nur noch zu bestimmen, was $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sein kann. Wie du selbst schon sagtest, ist $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ entweder zyklisch $\begin{eqnarray*} (S_3 \cong C_9) \end{eqnarray*}$ oder das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen der Ordnung 3 $\begin{eqnarray*} (S_3 \cong C_3 \times C_3) \end{eqnarray*}$ . Diese beiden Möglichkeiten führen dann zu
$\begin{eqnarray*} G \cong C_9 \times C_5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} G \cong C_3 \times C_3 \times C_5 \end{eqnarray*}$ .

Grüße

24.02.2011, 11:01

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich würde da jetzt nicht mehr "hineininterpretieren" als die bloße Feststellung, dass es für $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ eben zwei Möglichkeiten bis auf Isomorphie gibt, aber für $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ nur eine...

Übrigens gefällt mir die Schreibweise mit $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ gar nicht, da sie bekanntlich auch für symmetrische Gruppen verwendet wird, aber solange das nur auf diesen Thread beschränkt bleibt, ist es nicht so schlimm...

Edit: Sorry, habe nicht gesehn, dass C3P0 zum ersten Punkt schon in etwa das Gleiche geschrieben hat...

24.02.2011, 11:13

C3P0

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mystic:
Oh ja, sorry, die Sylowgruppen $\begin{eqnarray*} S_p \end{eqnarray*}$ zu nennen, ist so ne Angewohnheit von mir. Da ich die symmetrische Gruppe normalerweise $\begin{eqnarray*} \Sigma_n \end{eqnarray*}$ nenne, kommt es da sonst auch zu keinen Problemen. Ich versuche mal, mir das für das Board abzugewöhnen.

24.02.2011, 11:36

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Isomorphietyp(en) von Gruppe der Ordnung 10.
Vielen Dank für eure Antworten. Ich habe es gerafft. C3P0 in Kombination mit Mystic, war dann klärend.

Ich möchte jetzt die Isomorphietypen der Gruppe mit Ordnung 10 bestimmen.

Ich bin soweit, dass ich weiß, dass es genau eine 5-Sylowgruppe gibt, die damit Normalteiler ist, und dass die Anzahl der 2-Sylowgruppen 1 oder 5 sein kann. Meine Überlegungen hierzu führen leider zu widersprüchlichen Ergebnissen.

Auf der einen Seite denke ich, müsste $\begin{eqnarray*} \left| Syl_2(G) \right|=1 \end{eqnarray*}$ sein, da dann (Sei P die 2-Sylowgruppe und Q die 5-Sylowgruppe) $\begin{eqnarray*} \left| P \right| \cdot \left| Q \right| = 10 = \left| G \right| \end{eqnarray*}$ gilt.
Andererseits, wenn ich 5 2-Sylowgruppen hätte, dann wäre
Anzahl der Elemente der Ordnung 5: $\begin{eqnarray*} \left| Syl_5(G) \right| \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4 \end{eqnarray*}$
Anzahl der Elemente der Ordnung 2: $\begin{eqnarray*} \left| Syl_2(G) \right| \cdot 1 = 5 \cdot 1 = 5 \end{eqnarray*}$
Anzahl der Elemente der Ordnung 1: $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Also insgesamt genau 10 Elemente, wie es die Gruppenordnung von G verlangt.

Was ist nun richtig?

Vielen Dank im Voraus für die Mühe einer Antwort!

Jan

24.02.2011, 11:39

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Beides

Big Laugh

Es gibt Gruppen der Ordnung 10 mit einer 2-Sylowgruppe und es gibt Gruppen der Ordnung 10 mit 5 2-Sylowgruppen.

24.02.2011, 11:43

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphietyp(en) von Gruppe der Ordnung 10.
Hm, ich gebe jetzt für's erste nur mal zu bedenken, dass du ja (hoffentlich!) mindestens zwei Gruppen der Ordnung 10 bereits kennst, nämlich $\begin{eqnarray*} C_{10} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_5 \end{eqnarray*}$ ...

Edit: Sorry, wieder zu spät... unglücklich

unglücklich

24.02.2011, 12:13

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Man Meier, also das ist eine Offenbarung. Ich unterscheide jetzt die Fälle, dass es eine 2-Sylowgruppe gibt und dass es 5 gibt.

Gibt es nur eine, ist alles klar, dann ist G direktes Produkt aus P und Q (sei P die 2-Sylowgruppe und Q die 5-Sylowgruppe), da P und Q dann Normalteiler sind, also $\begin{eqnarray*} G \cong C_{10} \end{eqnarray*}$ .

Der andere Fall wirft allerdings ein paar Fragen auf. Ich habe dann die 5-Sylowgruppe Q, die Normalteiler ist und die 5 2-Sylowgruppen, die zueinander konjugiert sind. Die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \left| G \right| = 2 \cdot 5 = \left| D_5 \right| \end{eqnarray*}$ stinkt schon gewaltig, aber ich kann mit diesen 5 zueinander konjugierten 2-Sylowgruppen nichts anfangen.

Gibt es da einen Satz, der mich die vielleicht in einem anderen Licht sehen lässt? Ich wüsste nichts..

24.02.2011, 12:24

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde ist die Sache ganz einfach, nämlich so, dass wenn eine nichtabelsche Gruppe G mit 2n Elementen eine zyklische Untergruppe U mit n Elementen besitzt, sodass alle Elemente in $\begin{eqnarray*} G \setminus U \end{eqnarray*}$ die Ordnung 2 haben, dann ist das die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ , da es nämlich bis auf Isomorphie keine andere Gruppe mit dieser Eigenschaft gibt...

25.02.2011, 12:22

Jan T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Besten Dank für eure Hilfe!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »