Aufspannen einer Ebene durch sich schneidende Geraden

24.02.2011, 13:15

Telperion

Aufspannen einer Ebene durch sich schneidende Geraden

Hallo zusammen.
Ich habe eingentlich ein einfaches Problem, komme aber nicht auf die richtige Lösung.
Ich habe eine Gerade:
$\begin{eqnarray*} g:\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und eine Geradenschar:
$\begin{eqnarray*} h_k:\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} +\mu \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ k \end{pmatrix},k\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Nun soll ich die Lagebeziehung der beiden Geraden in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ betrachten.
Ich habe durch ein LGS aus den ersten beiden Koordinaten der Gerade für die Parameter Folgendes: $\begin{eqnarray*} \mu=\frac{10}{3} \vee \lambda=\frac{11}{6} \end{eqnarray*}$ raus (das ist richtig, da mir die Lösung vorliegt). So, jetzt habe ich aus der letzten Koordinate der Geraden auch ein Gleichungssystem gemacht und habe als einzige Lösung für k $\begin{eqnarray*} k=\frac{-9}{20} \end{eqnarray*}$ raus. Somit schneiden die beiden Geraden sich bei diesem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , ansonsten sind sie Winschief, da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind.
Nun meine eigentliche Frage: Die beiden Geraden (für $\begin{eqnarray*} k=\frac{-9}{20} \end{eqnarray*}$ ) sollen eine Ebene aufspannen.
Ich habe mir gedacht, dass ich einfach einen Ortsvektor der Gerade nehmen kann und dann die beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden, also:
$\begin{eqnarray*} E=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} +\lambda \cdot\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ \frac{-9}{20} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das ist aber nicht richtig. wo ist der Fehler? Muss ich den Schnittpunkt der beiden Geraden als Ortsvektor nehmen?

Vielen Dank im Vorraus und Wink

\edit: Bis zu "meiner eigentlichen Frage" ist alles richtig, da ich das in der Lösung gesehen habe, war nur für den Kontext der Aufgabe.

24.02.2011, 13:31

Cel

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Hey,

der Stützvektor muss der Schnittpunkt der beiden Geraden sein. Sonst hast du eine Ebene, die parallel zu deiner gesuchten ist.

24.02.2011, 13:40

Telperion

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Danke für die Antwort Cel.
Das heißt mein Schnittpunkt wäre:
$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}+ \frac{11}{6}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ \frac{17}{3} \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das müsste eigentlich richtig sein. Daraus folgt dann für meine Ebene:
$\begin{eqnarray*} E=\begin{pmatrix} 9 \\ \frac{17}{3} \\ 0,5 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ \frac{-9}{20} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.02.2011, 13:46

Cel

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Wunderbar, das unterschreibe ich! smile

24.02.2011, 13:48

Telperion

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe. smile

24.02.2011, 14:14

Draos

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Zitat:

Die beiden Geraden (für ) sollen eine Ebene aufspannen.

Als Stützvektor für eine Ebene reicht, i-ein Punkt zu nehmen, der auf der Ebene liegt.

Wenn die Geraden die Ebene aufspannen, liegen alle Punkte auf den Geraden auch auf der Ebene, also wäre folglich doch auch der Stützvektor einer Geraden Kandidat für den Stützvektor der Ebene.

Eine Ebene wird so geschrieben: $\begin{eqnarray*} E: \vec x=\vec m + s\cdot\vec a + t\cdot\vec b \end{eqnarray*}$

24.02.2011, 14:51

Cel

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Öhm, ja. Das stimmt natürlich. Was war da wieder los? verwirrt

Falsch wird die Lösung dadurch nicht, aber bedeutend schwieriger. Die erste Form der Ebene ist also auch richtig.

@ Telperion: Wie bist du denn darauf gekommen, dass deine erste Lösung falsch ist?

24.02.2011, 15:06

Telperion

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Ja, in dem ich falsch weitergerechnet habe unglücklich

.
Ich sollte dann den Abstand der Ebene zum Ursprung bestimmen und das habe ich falsch gemacht, deswegen dachte ich auch, dass meine Ebene falsch ist, denn die geben die Ebenengleichung in der Lösung in einer Form an, die ich nicht kenne:

$\begin{eqnarray*} E=\begin{pmatrix} -69 \\ 117 \\ 60 \end{pmatrix}\cdot \vec{x}=72 \end{eqnarray*}$
Die Schreibweise kenne ich nicht, konnte also auch meine Lösung nicht überprüfen.

Das Problem ist, dass das eine Abiaufgabe von 2007 ist, die andere Schwerpunkte hatten. Ich komme also garnicht mit den Aufgaben klar, da wir in der Schule keine Wege zum Lösen solcher Aufgaben besprochen haben.

Tut mir für die Unannehmlichkeiten leid.

Also nur zum Verständniss: Ich kann sowohl den Schnittpunkt der Geraden, als auch einen Ortsvektor der sich schneidenden Geraden als Stützvektor der Ebene verwenden?

24.02.2011, 15:21

Draos

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$\begin{eqnarray*} E=\begin{pmatrix} -69 \\ 117 \\ 60 \end{pmatrix}\cdot \vec{x}=72 \end{eqnarray*}$
ist falsch, richtig ist:
$\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix} -69 \\ 117 \\ 60 \end{pmatrix}\cdot \vec{x}=72 \end{eqnarray*}$

Sagt dir Koordinatendarstellung einer Ebene was? Die Form oben ist nur 1 Schritt davon entfernt, rechnet man das Skalarprodukt aus kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} E: -69x+117y+60z=72 \end{eqnarray*}$

Du kannst jeden Punkt auf der Geraden als Stützvektor nehmen, auch den Geradenschnittpunkt oder die Stützvektoren der Geraden.

24.02.2011, 15:29

Telperion

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Ja, das Gleichheitszeichen ist reingerutscht, entschuldigung.

Mir sagt die Form garnichts, wir hatten nur die Ebenengleichung wie ich sie oben hingeschrieben habe.
Der Zusammenhang zwischen der Ebenengleichung wie sie in der Lösung steht und nach dem Anwenden des Skalarproduktes ist klar.

Dann dankeschön für die Hilfe smile

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