Stetigkeit korrekt gezeigt?

24.02.2011, 12:48

Eroli

Stetigkeit korrekt gezeigt?

Hallo zusammen,

ich habe eine Übungsaufgabe nochmal selber nachgerechnet und mich dabei für einen anderen Weg entschieden. Ich bin mir nicht wirklich sicher, ob das so auch wirklich richtig ist, deswegen poste ich euch einfahc mal meinen Lösungsweg. Hoffentlich kann der ein oder andere da etwas zu sagen... :-)

$\begin{eqnarray*} g: (0,\infty) \rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Zeige: Für Alle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich und alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta=\delta(x_0,\epsilon) \end{eqnarray*}$ sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} | x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} | g(x) - g(x_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für Alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich

Jetzt fangen wir mal an :-D

$\begin{eqnarray*} |g(x) - g(x_0) |=| \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x_0^2}| = |\frac{x_0^2-x^2}{x^2\,x_0^2}| = |\frac{(x_0-x)(x_0+x)}{x^2\,x_0^2}| = |\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{-x^2x_0^2}| = \frac{|x-x_0||x+x_0|}{x^2x_0^2} < \delta\frac{|x-x_0+2x_0|}{x^2x_0^2} \end{eqnarray*}$

Nun erstmal einige Zwischenüberlegungen:
Aus $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} -\delta < x-x_0 < \delta \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} x_0-\delta < x < \delta + x_0 \end{eqnarray*}$
Außerdem nehmen wir an $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{x_0}{2} < x_0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt auch: $\begin{eqnarray*} x>x_0 - \delta > \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$

Nun geht es weiter:
$\begin{eqnarray*} \delta\frac{|x-x_0+2x_0|}{x^2x_0^2} < \delta\frac{|x-x_0|+|2x_0|}{x^2x_0^2} < \delta\frac{\delta + 2x_0}{x_0^2\cdot(x_0-\delta)^2} \end{eqnarray*}$ (Im ersten Schritt die Dreiecks-Ungleichung und im zweiten das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (x_0-\delta)^2 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt)

$\begin{eqnarray*} = \frac{\delta^2+2\delta x_0}{x_0^4 - 2\delta x_0^3 + \delta^2x_0^2} < \frac{\delta^2 + 2x_0^2}{x_0^4 - 2\frac{x_0}{2}x_0^3 + \delta^2x_0^2} = \frac{\delta^2 + 2x_0^2}{\delta^2 x_0^2} \end{eqnarray*}$ (Im letzten Abschätzschritt ging ein, dass $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ ist, dadurch mache ich die Differenz ja kleiner, also den Nenner kleiner, also den gesamten Bruch größer, oder?)

$\begin{eqnarray*} < \frac{x_0^2+2x_0^2}{\delta^2x_0^2} = \frac{3x_0}{\delta^2x_0^2} = \frac{3}{\delta^2} < \epsilon \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \delta > \sqrt{\frac{3}{\epsilon}} \end{eqnarray*}$

So, jetzt habe ich ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , dass zwar nur von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und nicht von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abhängt und somit zwar eigentlich die gleichmäßige Stetigkeit gezeigt, aber das ist jetzt egal.
Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob ich überhaupt etwas gezeigt habe, denn ich habe am Ende ja $\begin{eqnarray*} \delta > \mathrm{bla} \end{eqnarray*}$ und in allen anderen Übungsaufgaben kam ein Endergebnis mit $\begin{eqnarray*} \delta < \mathrm{bla} \end{eqnarray*}$ heraus? Ist das schlimm?

Das hat mich auchbeim Abschlusssatz etwas irritiert:
Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \mathrm{min}(x_0, \frac{x_0}{2}, \sqrt{\frac{3}{\epsilon}}) = \mathrm{min}(\frac{x_0}{2}, \sqrt{\frac{3}{\epsilon}}) \end{eqnarray*}$

Irgendwie kann das mit dem "min" ja nicht mehr stimmen, wenn ich $\begin{eqnarray*} \delta > \sqrt{\frac{3}{\epsilon}} \end{eqnarray*}$ (GRÖßER) gezeigt habe, oder?

Das hat mich jetzt einige Zeit gekostet, die ganzen Formeln hier einzutippen. Ich hoffe, dass sich jemand meldet und sich die Zeit nimmt und mir nach bestem Gewissen antwortet :-)
Wäre schön die Antworten auch mit gesetzten Formeln zu lesen, da dies Missverständnisse vermeidet - ist aber kein Muss :-)

Freue mich über jede Antwort,
Eroli

24.02.2011, 13:04

Ibn Batuta

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Was ich nicht verstehe, warum du das unnötig kompliziert machst:

$\begin{eqnarray*} |g(x) - g(x_0) |=[...]= \frac{|x-x_0||x+x_0|}{x^2x_0^2} < \delta\cdot \frac{|x+x_0|}{x^2x_0^2} \end{eqnarray*}$

Nun $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Abschätzen mit $\begin{eqnarray*} 0<\delta<\frac {x_0} 2 \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

24.02.2011, 13:24

Eroli

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Hi Ibn Batuta,

kann schon sein, dass es unnötig kompliziert ist, war aber so mein erster Gedanke und Rechenweg und ich frage mich, ob der wirklich richtig ist (vorallem, weil das ">" am ende ja "falsch" rum ist?)...

Wenn ich deinen Vorschlag richtig verstanden habe, dann meintest du das so:

$\begin{eqnarray*} \delta\cdot\frac{x+x_0}{x^2x_0^2} < \delta\cdot\frac{\delta+x_0+x_0}{x^2x_0^2} < \delta\cdot\frac{x_0+x_0+x_0}{x^2x_0^2} = \delta\cdot\frac{3x_0}{x^2x_0} = \frac{3\delta}{x_0x^2} < \frac{3\delta}{x_0\frac{x_0^2}{4}} = \frac{3\delta}{\frac{x_0^3}{4}} = \frac{12\delta}{x_0^3} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{\epsilon x_0^3}{12}\quad(*) \end{eqnarray*}$

Ist auch logisch und natürlich einfacher. Außerdem ist das Ungleichheitszeichen am Ende beim Delta auch "richtig" rum - oder ist es doch egal wie rum das ist (ich meine die (*)-Zeile)?

Vielleicht kannst du meine Fragen ja aufklären,

Ciao,
Eroli

EDIT: Die Lösung $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{\epsilon x_0^3}{12} \end{eqnarray*}$ kommt auch bei meiner Musterlösung raus, aber es gibt ja tausende Lösungen. Mich interessiert in erster Linie ob der Weg aus dem ersten Betirag korrekt ist (Vorzeichen, < oder >, allgemeines Vorgehen, ...)

24.02.2011, 13:38

Ibn Batuta

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Nein, das meine ich nicht. Ich meine es genauso, wie ich es geschrieben habe.

$\begin{eqnarray*} |g(x) - g(x_0) |=[...]= \frac{|x-x_0||x+x_0|}{x^2x_0^2} < \delta\cdot \frac{|x+x_0|}{x^2x_0^2}<\delta\cdot\frac{\frac{x_0}2+x_0}{(\frac{x_0}{2})^2x_0^2}=\delta\cdot\frac{\frac 3 2 x_0}{\frac{x_0^4} 4}=\delta\cdot\frac{6}{x_0^3} \end{eqnarray*}$

Bei deiner Lösung habe ich so einige Fragezeichen im Kopf. Ich fange mal mit dem Ersten an:

Zitat:

Nun erstmal einige Zwischenüberlegungen:
Außerdem nehmen wir an $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{x_0}{2} < x_0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt auch: $\begin{eqnarray*} x>x_0 - \delta > \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$

Wieso sollte das aus dem folgen?

Ibn Batuta

24.02.2011, 13:47

Eroli

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Zitat:

Bei deiner Lösung habe ich so einige Fragezeichen im Kopf. Ich fange mal mit dem Ersten an: Zitat: Nun erstmal einige Zwischenüberlegungen: Außerdem nehmen wir an $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{x_0}{2} < x_0 \end{eqnarray*}$ Daraus folgt auch: $\begin{eqnarray*} x>x_0 - \delta > \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ Wieso sollte das aus dem folgen?

Das folgt nicht daraus, sondern "damit" aus der Zeile darüber: $\begin{eqnarray*} x_0-\delta < x < \delta + x_0 \end{eqnarray*}$

EDIT: Vielleicht kannst du mir im Gegenzug erklären, wie du auf $\begin{eqnarray*} x < \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ kommst? Oder ist das einfach eine Festlegung, dass ich sage, dass die beiden Punkte $\begin{eqnarray*} x, x_0 \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich sich um die Hälfte unterscheiden?

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