Frage zum Video "Wie funktioniert Mathe?" #9

24.02.2011, 15:45

taiBsu

Frage zum Video "Wie funktioniert Mathe?" #9

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard,
folgende Frage beschäftigt mich:
im 9. Übungsvideo von "Wie funktioniert Mathematik?" ist eine Äquivalenzrelation von R in R² gegeben, wobei x*y >= 0 sein soll.
Den Beweis habe ich soweit auch verstanden, aber müsste bei einer Abbildung von einem ein- in einen zweidimensionalen Raum sich das Ergebnis nicht ändern?

Meine Ideen:
So dass quasi das Ergebnis immer positiv sein müsste, da es ja quadriert (oder so?!) wird?

24.02.2011, 15:57

Airblader

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Hi,

ich vermute mal, du beziehst dich auf Aufgabe 3. Zunächst mal wird dort eine Relation definiert (das ist ein Unterschied), und zwar auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , d.h. eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} R \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ würde eine einzelne Zahl nehmen und sie auf einen zweidimensionalen Vektor abbilden.

Bei den Relationen ist das anders: Die Relation vergleicht jeweils zwei reelle Zahlen hinsichtlich der Eigenschaft (hier xy >= 0). Wenn zwei Zahlen dies erfüllen, so liegt das Paar $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ in der Relation R. Diese ist erstmal nichts anderes als eine Menge solcher Paare.
Es ist also z.B.

$\begin{eqnarray*} R = \{(0,0), (1,2), (-1, -5), \ldots\} \end{eqnarray*}$ (es liegen natürlich unendlich viele Paare in R, ich möchte dir lediglich zeigen, wie das etwa aussieht).

Ich hoffe, der Unterschied wurde klar. Wenn nicht, einfach nochmal fragen. Augenzwinkern

air

24.02.2011, 16:01

taiBsu

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Ja ok alles klar danke,
muss ich denn dann irgendwie weiteren Wert auf das R² legen oder ist bei R³ usw. immer das gleiche Ergebnis?

24.02.2011, 16:06

Airblader

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Hi,

ich betrachte in den Videos immer nur Relationen auf zwei Mengen, d.h. Relationen $\begin{eqnarray*} R \subset A \times B \end{eqnarray*}$ . Überlicherweise sind diese beiden Mengen gleich (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} A = B = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ), denn der Begriff "Äquivalenzrelation" existiert zunächstmal nur für solche Relationen.

Insofern wäre eine Relation $\begin{eqnarray*} R \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ "sinnlos", da sie dreistellig wäre. Du müsstest also drei Zahlen auf eine Eigenschaft überprüfen (z.B. xyz >= 0 und dann wäre (x,y,z) in R). Sowas gibt es prinzipiell, aber die ganzen Eigenschaften, wir wir uns im Video anschauen, lassen sich nicht ohne Weiteres hierfür definieren (was sollte z.B. Symmetrie oder Transitivität für solche Relationen sein?).

Das $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gibt dir also "nur" an, aus welcher Zahlenmenge die Zahlen stammen. Wenn du die selbe Relation auf einer anderen Grundmenge betrachtest, dann kann sie nämlich sehr wohl eine Äquivalenzrelation sein. Insofern ist dies durchaus wichtig.

air

24.02.2011, 16:32

taiBsu

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Aaaaaaah, jetz habichs Big Laugh

Danke noch mal, die Videos sind echt verdammt gut (bis auf die Handschrift Big Laugh

) Mach weiter so!

24.02.2011, 16:38

Airblader

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Zitat:

Original von taiBsu
(bis auf die Handschrift Big Laugh

)

Kann ich mich damit rausreden, dass ich sage, dass dies beabsichtigt ist, um auf echte Vorlesungen vorzubereiten? Nein? Schade. Big Laugh

Danke für das Lob. In letzter Zeit ist nichts mehr passiert, ich hoffe aber, dass ich das nun in den Ferien wieder ändern kann.

Viel Spaß und Erfolg weiterhin. Wink

air

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