Holomorphe Funktion und Kurvenintegral

24.02.2011, 17:46	pheips	Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphe Funktion und Kurvenintegral Servus! Ich übe gerade für eine Klausur zur Funktionentheorie und bin dabei auf folgendes Beispiel gestoßen, welches mir Probleme bereitet: Zeigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray} \sqrt{z} \sinh(\sqrt{z}) \end{eqnarray}$ eine ganze Funktion gegeben ist. Bestimmen sie ihre Nullstellen und berechnen Sie das Kurvenintegral $\begin{eqnarray} \int_C z \frac{f'(z)}{f(z)} dz \end{eqnarray}$ wobei C ein Kreis mit Radius 25 um den Ursprung bezeichnet. Für den ersten Teil der Aufgabe, bin ich folgendermaßen vorgegangen: $\begin{eqnarray} \sqrt{z} \sinh(\sqrt{z} ) = \frac{\sqrt{z}}{2}\left[e^{\sqrt{z}} - e^{-\sqrt{z}} \right]= \frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{n} }{n!} - \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{n} }{n!}\right]= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> =\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k} }{(2k)!} + \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k} }{(2k)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!}\right] = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!}\right] =\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k \sqrt{z} }{(2k+1)!}-\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k (-\sqrt{z}) }{(2k+1)!}\right]= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\sqrt{z}}{2}\left[2\sqrt{z} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k }{(2k+1)!}\right] =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^{k+1} }{(2k+1)!} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} e^{z} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{n} }{n!} \end{eqnarray}$ holomorph auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist (das ist als bekannt anzunehmen), und konvergente Majorante für $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^{k+1} }{(2k+1)!} \end{eqnarray}$ gilt auch, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{z} \sinh(\sqrt{z} ) \end{eqnarray}$ holomorph auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ und somit ganze Funktion. Das sollte soweit noch stimmen (denke ich). Meine Frage dazu ist: geht es auch einfacher? Kann man nicht auch begründen, dass die Funktion ganz ist, da sie als Summe, Produkt und durch Konkatenation ganzer Funktionen dargestellt ist. Schließlich ist $\begin{eqnarray} \sqrt{z} \end{eqnarray}$ doch auch ganz, oder? Nun zur wichtigeren Frage: Die Nullstellen sind in weiterer Folge, denke ich kein Problem. Jedoch mit dem Kurvenintegral hab ich ein Problem. Parametrisierung scheint mir hier viel zu kompliziert. Andere Möglichkeit wäre vermutlich der Residuensatz, wobei das wohl auch einiges an Rechenaufwand für die Berechnung der Residuen benötigen würde, oder? Jedenfalls würde das bedeuten jene Nullstellen zu verwenden, deren Betrag kleiner 25 ist. Für diese die Residuen berechnen, aufaddieren und mit i2pi multiplizieren. Kann ich mir hier vllt. die logarithmische Ableitung zu Nutze machen für die Berechnung der Residuen? Wäre für jeden Ansatz dankbar. Dank im voraus! mfg philipp
24.02.2011, 19:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nur eine Singularität im Innern des Kreises, und zwar bei $\begin{eqnarray} - \pi^2 \end{eqnarray}$ . Das Residuum dort ist ebenfalls $\begin{eqnarray} - \pi^2 \end{eqnarray}$ , der Integralwert damit $\begin{eqnarray} -2 \pi^3 \operatorname{i} \end{eqnarray}$ .
24.02.2011, 19:40	pheips	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal! Aber ist 0 nicht ebenfalls Singularität? Jedoch ist dor das Residuum auch gleich 0. Stimmt das? EDIT: 0 ist zwar hebbare Singularität, aber kein Pol und deshalb für das Integral irrelevant. Stimmt das so?

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