Kugelschreiber Wahrscheinlichkeit

24.02.2011, 19:11

ratzz

Kugelschreiber Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo,

in einem Schreibwarengeschäft werden zwei Stifte verkauft. Der Billige kostet 2,5 Euro und wird zu 60% verkauft, der Teurere kostet 4 Euro und wird zu 40% verkauft.

Es wurden nun 100 Kugelschreiber verkauft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurden dabei weniger als 298 Euro eingenommen?

Ich habe dazu eine Rechnung gemacht, aber das Ergebnis kommt mir sehr flasch vor. Könnt ihr da mal drüber sehen?

Meine Ideen:
Der Erwartungswert liegt bei 310 Euro.

Weniger als 298 Euro Einnahme bedeutet, dass mindestens 68 billige und maximal 32 teure Stifte verkauft werden konnten. Meine Rechnung sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=68}^{100} \begin{pmatrix} 100 \\ k \end{pmatrix} \cdot 0,6^k \cdot 0,4^{100-k} \cdot \sum\limits_{k=0}^{32} \begin{pmatrix} 100 \\ k \end{pmatrix} \cdot 0,4^k \cdot 0,6^{100-k} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis liegt bei 0,378 Prozent. Das kann noch nicht stimmen..

Vielen Dank für eure Hilfe.

24.02.2011, 19:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von ratzz
Weniger als 298 Euro Einnahme bedeutet, dass mindestens 68 billige und maximal 32 teure Stifte verkauft werden konnten.

Erster Fehler: Bei 68 billigen und 32 teuren Stiften hat man genau 298 Euro Einnahmen. "Genau" zählt nicht zum Fall "weniger als". unglücklich

Es müssen also mehr als 68, d.h. mindestens 69 billige Stifte sein.

Zitat:

Original von ratzz
Meine Rechnung sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=68}^{100} \begin{pmatrix} 100 \\ k \end{pmatrix} \cdot 0,6^k \cdot 0,4^{100-k} \cdot \sum\limits_{k=0}^{32} \begin{pmatrix} 100 \\ k \end{pmatrix} \cdot 0,4^k \cdot 0,6^{100-k} \end{eqnarray*}$

Zweiter Fehler: Du rechnest so, als wären die Anzahlen verkaufter billiger und teurer Stifte unabhängig voneinander. Das sind sie nicht, sie sind im Gegenteil hochgradig abhängig über die Forderung, dass ihre Summe gleich 100 ist! unglücklich

Tatsächlich ist mit der Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der billigen Stifte die Anzahl der teuren dann automatisch festgelegt gemäß $\begin{eqnarray*} 100-X \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist also lediglich

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 69) = \sum\limits_{k=69}^{100} \binom{100}{k} \cdot 0{,}6^k \cdot 0{,}4^{100-k} \end{eqnarray*}$

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