Dualraum - einige theoretische Fragen

25.02.2011, 08:39

hnky

Dualraum - einige theoretische Fragen

hallo,

ich habe noch einige fragen zum dualraum.

1) Angenommen, ich habe eine Basis des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ gegeben, und möchte die dazu duale Basis bestimmt. Kann ich so vorgehen?
- Basis als Spalten in eine Matrix schreiben
- Matrix invertieren
- Die Zeilen der Inversen bilden dann meine Duale Basis

Ich habe einige Beispiele durchgerechnet, und dort klappt es. Also vermute ich, dass es allgemein auch so funktioniert.

2) Angenommen, ich habe eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gegeben,möchte die dazu duale Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi^* \end{eqnarray*}$ bestimmen,befinde mich im $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ und habe 2 Basen, B und C, gegeben.

Dann bestimme ich zunächst $\begin{eqnarray*} A:=M_C^B(\phi) \end{eqnarray*}$ (zur schreibweise: die Matrix soll vektoren in Koordinaten bezüglich B in Koordinaten bezüglich C abbilden).

Nun weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} A^T=M_{B^*}^{C^*}(\phi^*) \end{eqnarray*}$ gilt.

Um jetzt aber $\begin{eqnarray*} M_{C^*}^{B^*}(\phi^*) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, muss ich doch lediglich diese Matrix noch invertieren, oder?

bei (Transformations)-Matrizen in den "üblichen" Vektorräumen stellt eine Invertierung der Abbildungsmatrix ja auch bloß ein "Abbilden in umgekehrter Richtung" dar. Also müsste es bei solchen Abbildungs - / Transformationsmatrizen auch funktionieren, oder gibt es dabei Probleme, weil ich mich im Dualraum befinde?

3) der Orthogonalraum / Annulator eines Raumes

Die Definition lautet: Sei V ein VR und $\begin{eqnarray*} U \leq V \end{eqnarray*}$ . Dann ist: $\begin{eqnarray*} U^\bot = \{ \varphi ~:~ V \to K ~|~ \varphi(u)=0 ~\forall u \in U \} \leq V^* \end{eqnarray*}$

Habe ich es richtig verstanden, dass der Annulator somit also aus allen Linearformen besteht, die alle Elemente meines Unterraumes auf 0 abbilden?

Angenommen, ich habe wieder eine Basis B eines Unterraumes $\begin{eqnarray*} U \leq V \end{eqnarray*}$ gegeben. Mir ist noch nicht ganz klar, wie ich dann den Orthogonalraum bestimmen kann.
Der Dimensionsformel zu Folge gilt $\begin{eqnarray*} dim U + dim U^{ \bot} = dim V \end{eqnarray*}$ . Das würde aber doch bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} U^\bot \end{eqnarray*}$ ein Komplement zu U ist.
Deshalb vermute ich, dass ich lediglich das Komplement zum Kern einer linearen Abbildung, also das Bild, bestimmen muss, und dann im Prinzip "den Kern des Bildes" bestimme. Kann ich also so vorgehen?

- Ich schreibe die Basisvektoren meines Unterraumes als Spalten in eine Matrix
- Ich transponiere die Matrix, um das Bild berechnen zu können
- Dann bilde ich aber den Kern der Transponierten
- Dann erhalte ich die Basisvektoren des Orthogonalraumes.

4) Gibt es noch etwas zum Dualraum, das sich mit Matrizen darstellen lässt?
Diese Frage ist natürlich etwas schwammig ausgedrückt, aber ich meine damit im Prinzip, ob es etwas zum Dualraum gibt, das sich Berechnen lässt, wie z.B. eine duale Basis, duale Abbildung oder der Annulator eines Raumes.

Das wäre es fürs erste smile

Ich bedanke mich schonmal im voraus bei jedem, der sich mit dieser Thematik auskennt smile

25.02.2011, 10:27

Manus

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Zu 1:

Ja, die Vorgehensweise funktioniert. Denn die Zeilen der Inversen haben ja gerade die Eigenschaft (vgl. Matrizenmultiplikation) von links an die Spalte von A mit gleichem Index multipliziert 1 und sonst 0 zu ergeben, genau wie in der Definition der Dualbasis gefordert.

Zu 3:

Auch hier funktioniert deine Vorgehensweise. Du suchst ja im Prinzip alle Spalten, die du von links an jeden deiner Basisvektoren multiplizieren kannst, sodass 0 herauskommt.

"Transponieren" wir das Problem heißt das, du suchst alle Spalten, die du von rechts an jeden deiner Basisvektoren (als Zeile geschrieben) multiplizieren kannst, sodass 0 herauskommt. Mit anderen Worten, du suchst genau den Kern der Matrix, die du erhälst, wenn du deine Basisvektoren zeilenweise untereinander notierst.

25.02.2011, 12:33

hnky

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alles klar, danke für die erklärung smile

hat vielleicht noch jemand eine idee zu 2) und 4) ?

25.02.2011, 17:11

Manus

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Zu 2:

Invertieren funktioniert hier nicht.

Invertieren liefert dir die Abbildungmatrix der inversen Abbildung (also der Inversen der dualen Abbildung) bzgl. der gegebenen Basen.

Um die von dir gewünschte Matrix zu erhalten (was hier übrigens nur deshalb möglich ist, weil du einen Endomorphismus und keine lineare Abbildung zwischen zwei verschiedenen Räumen betrachtest) musst du ganz normal einen Basiswechsel durchführen, also mit den entsprechenden Basiswechselmatrizen von links und rechts multiplizieren.

(Das Dualraumzeug sollte ich mir wohl nochmal angucken, bevor das nächstes Semester im Tutorium gefragt ist...)

25.02.2011, 18:19

hnky

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ah, alles klar, danke für die erklärung smile

dann werde ich wohl nicht um den Basiswechsel drum herum kommen.

Zitat:

(Das Dualraumzeug sollte ich mir wohl nochmal angucken, bevor das nächstes Semester im Tutorium gefragt ist...)

du bist nicht zufällig im nächsten LA1 tutor an der rwth, oder? Big Laugh

vielleicht lande ich ja dann wohlmöglich in deinem Tutorium smile

25.02.2011, 18:22

Manus

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Ich dachte du wolltest zu Oli/Jester ins Tutorium Big Laugh

.

Aber um die Frage direkt zu beantworten: Ja, ich bin im nächsten Semester LA I Tutor an der RWTH.

25.02.2011, 18:27

hnky

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Zitat:

Original von Manus
Ich dachte du wolltest zu Oli/Jester ins Tutorium Big Laugh

.

Aber um die Frage direkt zu beantworten: Ja, ich bin im nächsten Semester LA I Tutor an der RWTH.

so schnell spricht sich das also schon rum Big Laugh

falls sein tutorium morgens um 8 uhr stattfindet, wäre es natürlich nicht schlecht, einen alternativ - termin zu haben smile

25.02.2011, 18:34

Manus

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Zitat:

Original von hnky

Zitat:

Original von Manus
Ich dachte du wolltest zu Oli/Jester ins Tutorium Big Laugh

.

Aber um die Frage direkt zu beantworten: Ja, ich bin im nächsten Semester LA I Tutor an der RWTH.

so schnell spricht sich das also schon rum Big Laugh

falls sein tutorium morgens um 8 uhr stattfindet, wäre es natürlich nicht schlecht, einen alternativ - termin zu haben smile

Da wir einen identischen Stundenplan haben und meist auch zusammen korrigieren, werden wir uns vermutlich bemühren parallele Tutorien zu haben.

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