Sigma-Algebra: abzählbare Additivität

25.02.2011, 10:47	Maß aller Dinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra: abzählbare Additivität Hallo alle zusammen! Ich lese mich gerade in die Maßtheorie ein und habe da folgendes Problem mit der Sigma-Algebra: Die Grundmenge einer Sigma-Algebra kann überabzählbar sein, wobei für die Additivität der Teilmengen allerdings Abzählbarkeit gelten muss. Für mich ist das ein Widerspruch. Kann mir bitte jemand helfen? LG
25.02.2011, 11:10	dinzeooo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich seh da keinen widerspruch. die sigma algebra kann überabzählbar sein, aber für abzählbare mengen der sigma algebra gilt halt die bedingung. abzählbare mengen gibt es ja immer, z.b. $\begin{eqnarray} A_1=\Omega, A_n=\varnothing \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ wo ist da genau der widerspruch?
25.02.2011, 19:03	Maß aller Dinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt lang und breit zu erklären, warum es für mich einen Widerspruch darstellt, formuliere ich meine Frage mal so: Gibt es eine überabzählbare Addivität? Und wenn ja: Was ist das genau? LG
25.02.2011, 20:15	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei der Sigma-Algebra wird halt nur Additivität gefordert bzgl. abzählbarer Vereinigungen. Aber man kann theoretisch auch überabzählbare Vereinigungen betrachten in anderen Fällen. Z.B. ist jede Vereinigung offener Mengen wiederum offen (vgl. Topologie).
25.02.2011, 20:43	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
@Maß aller Dinge Man muss sich nur mal das (eindimensionale) Lebesguemaß $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ anschauen um zu erkennen, dass so eine überabzählbare Summe nicht mit der Maßadditivität in Einklang zu bringen ist: Es ist $\begin{eqnarray} \lambda([0,1])=1 \end{eqnarray}$ , andererseits würde $\begin{eqnarray} \sum_{x\in [0,1]} \lambda(\{x\}) = \sum_{x\in [0,1]} 0 = 0 \end{eqnarray}$ für jede wie auch immer geartete Defintion der überabzählbaren Summe herauskommen - oder wie sonst willst du so eine Summe über Nullen sinnvoll definieren? Damit ist schon mal ein Beispiel für $\begin{eqnarray} \lambda\left( \bigcup\limits_{i\in I} A_i \right) \neq \sum\limits_{i\in I} \lambda\left( A_i \right) \end{eqnarray}$ mit disjunkten $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ gefunden. Und wenn die Maßadditivität für solche Vereinigungen bzw. Summen ausfällt, welchen Sinn macht dann noch die Betrachtung dieser überabzählbarer Summen? Mir fällt keiner ein.

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