Dichtefunktion nachweisen

25.02.2011, 13:33	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion nachweisen Hallo, folgende Aufgabe: Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) besitzt die Dichte: $\begin{eqnarray} f(X,Y)=\begin{pmatrix} k(X+Y) ~ fuer ~ 0\leq X,Y\leq 1 \\ 0 ~ sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Für welche Wahl von k ist f tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte? Meine Idee: Eine Dichtefunktion ist dann gegeben, wenn: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{+\infty } \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray}$ Hier wäre das meiner Meinung nach: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! \int_{-\infty}^{1} \! f(X,Y) \, dy~dx = 1 \end{eqnarray}$ Dann einfach integrieren und nach k auflösen. Aber leider verhält es sich mit den Grenzen laut Lösung anderst, denn dort sind sie so gewählt: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \int_{0}^{1} \! f(X,Y) \, dy~dx = 1 \end{eqnarray}$ Verstehe aber nicht ganz wieso? b) Berechnen Sie die dazugehörige Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(X,Y) \end{eqnarray*}$ Hier hätte ich gedacht, muss ich nur in den entsprechenden Grenzen (falls die aus a) stimmen : 0 - 1 und 0-1) integrieren. In meiner Lösung wird dies aber allgemein mit den Grenzen 0-u und 0-v gemacht. Wieso? Hope s.o. can help. Dankeschön!
25.02.2011, 13:42	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bist Du einer Schreibweise zum Opfer gefallen. Zugegeben, es ist blöd formuliert. Mit $\begin{eqnarray} 0 \leq X,Y \leq 1 \end{eqnarray}$ meint der Autor hier $\begin{eqnarray} 0 \leq X \leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \leq Y \leq 1 \end{eqnarray}$ Der Gute war einfach nur Schreibfaul. Ich habs aber auch zu erst so wie Du interpretiert. Dann wären deine Grenzen übrigens richtig. Zum zweiten Punkt : Ist X eine Zufallsvariable und f deren Dichte, dann ist die Verteilungsfunktion : $\begin{eqnarray} P(X \leq \lambda ) = F(\lambda) = \int_{-\infty}^{\lambda}f(x)dx \end{eqnarray}$ Du suchst hier aber $\begin{eqnarray} P(X \leq u, Y \leq v) \end{eqnarray}$
25.02.2011, 15:35	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm gut! dann bekomme ich heraus mit u, v als Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} F(u,v)=\frac{1}{2} uv(u+v) \end{eqnarray}$ a) Muss hier hier dann eigentlich F(u,v) oder F(X,Y) schreiben? b) Nun soll ich $\begin{eqnarray} p(X\leq 0.5) \end{eqnarray}$ berechnen, dass könnte ich doch dann einfach mit u=0,5 und v=1 berechnen, also: $\begin{eqnarray} F=\frac{1}{2} 10.5(1+0.5)=0,375 \end{eqnarray}$ was das gleiche wäre wie: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \int_0^{0.5} \! f(X,Y) \, dx =0,375 \end{eqnarray}$ Nun soll ich auch noch $\begin{eqnarray} p(X+Y\leq 1) \end{eqnarray}$ berechnen, was ja wäre: $\begin{eqnarray} p(X+Y\leq 1)=p(X\leq 1-y) \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \int_0^{1-y} \! f(X,Y) \, dx \end{eqnarray}$ Wenn ich nun aber das über $\begin{eqnarray} F(u,v)=\frac{1}{2} uv(u+v) \end{eqnarray}$ berechnen möchte, und dort 1 und 1-y einsetze, erhalte ich etwas anderes heraus,woran haperts, dürfte doch das gleiche herauskommen? Danke für die gute Hilfe Mazze
26.02.2011, 15:17	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
könnt mir da jmd. nochmal helfen? dankeschön

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