f(x)=sin(x)+cos(x) maximum geometrisch

25.02.2011, 14:17

nzuri

f(x)=sin(x)+cos(x) maximum geometrisch

Moin,
(keine ahnung, ob das hier das richtige forum ist, aber hat ja was minmax zu tun^^)

gibt es die möglichkeit, das maximum der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)+cos(x) \end{eqnarray*}$ mithilfe des einheitskreises zu bestimmen?

Keine Ahnung, Dreriecksungleichung, Pythagoras. Ich hab ein bisschen was ausprobiert, aber ich hab keine Idee.
Ich finde keine Begründung für 45Grad bzw, Seite A = Seite B.... böse

25.02.2011, 14:30

tmo

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Du könntest mal $\begin{eqnarray*} (\sin x + \cos x)^2 = 1+\sin 2x \end{eqnarray*}$ beachten, bzw. erstmal begründen.

25.02.2011, 14:34

Mystic

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RE: f(x)=sin(x)+cos(x) maximum geometrisch
Du könnstest auch mit der Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt 2 \sin(x+\frac \pi 4) \end{eqnarray*}$

arbeiten...

25.02.2011, 14:41

nzuri

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@Mystic:
die geometrie hinter deinem hinweis leuchtet mir nicht ganz ein?

@tmo
die "additionstheorem": $\begin{eqnarray*} sin(x)cos(x)=sin(2x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin²(x)+cos²(x)=1 \end{eqnarray*}$ geometrisch verstehen?

25.02.2011, 14:51

Mystic

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Ok, hier noch die "Geometrie" dahinter, auch wenn sie dich vielleicht nicht voll befriedigt...

Wenn du irgendeinen Punkt auf dem Einheitskreis nimmst mit Phasenwinkel x, so ist die Summe seiner Koordinaten gerade dein f(x)... Um auf den gleichen Wert zu kommen kannst du auch einen konzentrischen Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ zeichnen, und musst dann für den Punkt, dessen Phasenwinkel um 45 Grad größer ist, einfach nur dessen y-Koordinate berechnen... Ich würde also schon sagen, dass das Maximierungsproblem dadurch etwas einfacher geworden ist... Lehrer

25.02.2011, 15:05

tmo

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Zitat:

Original von nzuri
@tmo
die "additionstheorem": $\begin{eqnarray*} sin(x)cos(x)=sin(2x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin²(x)+cos²(x)=1 \end{eqnarray*}$ geometrisch verstehen?

Letzteres geometrisch zu vestehen, sollte doch kein Problem sein. Das ist ja nur Pythagoras im Einheitskreis.

Das Additionstheorem kann man auch geometrisch herleiten bzw. deuten.

Man könnte sogar noch einen Schritt vorher aufhören, d.h. nur $\begin{eqnarray*} (\sin x + \cos x)^2 = 1+2\sin x \cos x \end{eqnarray*}$ benutzen, wobei wirklich nichts aus der trigonometrische Pythagoras benutzt wurde.

Dann kann man $\begin{eqnarray*} \sin x \cos x \end{eqnarray*}$ als Flächeninhalt eines geeigneten Rechtecks im Eineheitskreis deuten, dessen Diagonale bekannt ist.
Über den Maximalen Flächeninhalt macht dann die Ungleichung vom arithmeitschen und geometrischen Mittel eine Aussage.
Diese Ungleichung kann man übirgens auch geometrisch deuten, wenn man mal zu einem Rechteck ein umfanggleiches Quadrat konstruiert und den Flächeninhalt von Quadrat und Rechteckt vergleicht.

Um vielleicht nochmal Mystics Weg (gefällt mir sehr Freude

) etwas zu beleuchten:

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right) \end{eqnarray*}$

Nun betrachtet man $\begin{eqnarray*} (a,b) := (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als Punkt in der Zeichenebene und stellt fest: $\begin{eqnarray*} \| (a,b) \| = 1 \end{eqnarray*}$ , also liegt der Punkt auf dem Einheitkreis.

Daraus folgt, dass es ein $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} (a,b) = (\cos \varphi, \sin \varphi) \end{eqnarray*}$ . In deinem Speizalfall ist eben $\begin{eqnarray*} \varphi = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

Dies führt dann zusammen mit dem Additionstheorem für den Sinus zur gewünschen Darstellung.

25.02.2011, 16:33

nzuri

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ok, den flächeninhalt finde ich gut^^
und sonst ist das jetzt befriedigend erklärt.
vielen dank euch beiden!

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