Ableitung Wurzel cos(cos(x))

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25.02.2011, 15:00	PFefferkorn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Wurzel cos(cos(x)) Tag zusammen, bräuchte eure Hilfe bei der Aufgabe, die schon im Titel genannt wurde. Von dieser Aufgabe muss ich die Ableitung bilden: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{cos(cos(x))} \end{eqnarray}$ Ich hatte natürlich schon Ideen, wie zu substituieren und dann mit der Kettenregel weiterzumachen. Doch irgendwie komme ich immer durcheinander :/ Ich habs mit 2 mal substituieren versucht: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{cos(cos(x))}=\sqrt{cos(u)}=\sqrt{v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(u)=\sqrt{cos(u)};u=cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(v)=\sqrt{v};v=cos(u) \end{eqnarray}$ Kann ich bzw muss ich hier überhaupt die Kettenregel anwenden? Oder kann ich einfach nacheinander ableiten?
25.02.2011, 15:14	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ansätze sind doch schon sehr gut! Und Kettenregel ist auch gut! Mach doch weiter!
25.02.2011, 15:34	PFefferkorn	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schonmal gut zu hören Ich habe also angefangen von unten aus abzuleiten: $\begin{eqnarray} F'(v)=\frac{1}{2\sqrt{v} } =\frac{1}{2\sqrt{cos(u)} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F'(u)=\frac{1}{2\sqrt{cos(u)} } \end{eqnarray}$ Das wäre dann ja genau das gleiche. Hier bleibe ich immer hängen Wie soll ich hier nun die Kettenregel einsetzen? Edit: Hatte mir auch schon gedacht, dass das die komplette ist. $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{cos(cos(x))} } \end{eqnarray}$ Aber da es ja ineinander verschachtelte Funktionen sind, brauch man ja irgendwie die Kettenregel :/ Oder muss man hier jede einzelne Funktion mit der Kettenregel ableiten?
25.02.2011, 15:44	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst jetzt, ganz normal, wie immer bei der Kettenregel, noch mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren! Versuche also mal f(x)=cos(cos(x)) abzuleiten.
25.02.2011, 16:17	PFefferkorn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah glaub ich habs schon verstanden Aber noch mal zur Kontrolle Das wäre mit allen Zwischenschritten: $\begin{eqnarray} y=f(x)=cos(cos(x))=cos(u);<br /> <br /> u=cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=-sin(u)-sin(x)=-sin(cos(x))-sin(x) \end{eqnarray}$ Dann wäre das speizell für meine Aufgabe für v: $\begin{eqnarray} F'(v)=v'(\sqrt{v})'=-sin(u)\frac{1}{2\sqrt{cos(u)}}=\frac{-sin(u)}{2\sqrt{cos(u)}} \end{eqnarray*}$ Oder vertue ich mich da?
25.02.2011, 16:22	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso hast du denn jetzt im Zähler cos(u) stehen? Das musst du doch erst noch ableiten! Oder versteh ich da etwas in deiner Rechnung nicht? edit: ok, jetzt hast du es wegeditiert und das richtige hineditert Und wie geht es jetzt weiter?
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25.02.2011, 16:50	PFefferkorn	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop habs gesehen Also ich würde nun u ableiten und einsetzen... Aber das ist irgendwie zu einfach. Dann wohl über f(x) : $\begin{eqnarray} y=f(x)=\sqrt{cos(u)};u=cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{cos(u)}}(-sin(x))=\frac{-sin(x)}{2\sqrt{cos(cos(x))}} \end{eqnarray}$ Nu wurde aber die 2. Substitution nicht verwendet :/ Irgend nen Tipp? Edit: Glaub ich habs, müsste so aussehen nehm ich an: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv} \frac{dv}{du}\frac{du}{dx}=... \end{eqnarray}$ Mir werden im Edit-Menü leider nicht mehr die Werte angezeigt. Werds gleich noch nachposten.
25.02.2011, 17:06	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du richtig gesehen, das fehlt was Ich weiß jetzt nicht, wie du die Kettenregel gelernt hast, aber mir scheint irgendwie, du machst das alles viel zu kompliziert mit den ganzen Substitutionen... Ich versuche dir deshalb mal eine Alternativlösung anzubieten Kettenregel: Du hast eine Funktion f, die Verkettung zweier Funktionen u und v ist, also $\begin{eqnarray} f(x)=u(v(x)) \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x) \end{eqnarray}$ In deinem Fall ist $\begin{eqnarray} u(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v(x)=\cos(\cos(x)) \end{eqnarray}$ . v(x) ist jetzt wieder eine Verkettung von zwei Funktionen, nennen wir sie g und h. $\begin{eqnarray} v(x)=g(h(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'(x)=g'(h(x)) \cdot h'(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x)=\cos(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(x)=\cos(x) \end{eqnarray}$ Es gilt also $\begin{eqnarray} f'(x)=u'(v(x))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\cos(\cos(x))}}\cdot (-\sin(cos(x)))\cdot (-\sin(x)) \end{eqnarray}$ Aber wenn du es mit deinem Weg auch hinbekommen hast
25.02.2011, 17:29	PFefferkorn	Auf diesen Beitrag antworten »
Oha, sieht auf jeden Fall einfacher aus Kenne die Kettenregel nur aus Büchern bzw. habe auch vieles vergessen. Vielen Dank dafür Gruß Matze
25.02.2011, 17:36	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, gern geschehn^^

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