Zwei Ebenengleichungen - ein und diesselbe Ebene? - Seite 2

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abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schnittgeraden-Richtungsvektor heisst (6,9,-10) und die Schnittgerade ist keine Ursprungsgerade.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, habs, ich hab den Fehler gemacht, wir haben natürlich die Ebenengleichungen, da müssen wir die jeweiligen Skalare einsetzen.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch auch mal meinen Rechenweg nochmal nach zu rechnen. Vielleicht hab ich wieder nen Fehler gemacht!

Ok! Das mit der Gerade hab ich verstanden. Aber wie würde das Ergebnis aussehen, wenn es eine Ebene wäre?

Ok x1 usw. in beide Ebenengleichungen einsetzen!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hättest du in der Matrix eine Nullzeile erzeugt und würdest zwei Unbekannte parametrisieren.
Wir haben nun die beiden Ebenengleichungen:




und

.

Nun setzen wir die Lösungen für die Skalare hier ein und erhalten die Schnittgerade.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »






Richtig?

Dann muss ich die beiden noch gleichsetzen?


Die Zeile kann ich nicht zuordnen??
"Dann hättest du in der Matrix eine Nullzeile erzeugt und würdest zwei Unbekannte parametrisieren."
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Nun setzen wir unsere Lösungen in die Ausgangsgleichung ein:



mit

Wie schaut der Lösungsraum aus?

Die Aussage, zwei linear abhängige Vektoren spannen keine Ebene auf ist richtig.


Hier iat mir ein Vorzeichenfehler unterlaufen, es ist , das Ergebnis ist positiv.

Wenn man das nun in die Ebenengleichungen einsetzt sollte beide Male die gleiche Gerade herauskommen, und das tut es dann auch.

Das sind ja gerade die Lösungen für die Skalare unter Schnittbedingung.

zwei verschiedene Lösungen sagen uns, dass wir uns verrechnet haben, und das war der Vorzeichenfehler.
 
 
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. HAb ich verstanden. Also sind die Ebenen nicht gleich.

Und wie würde jetzt ein Lösung aussehen wenn du beiden Ebenengleichungen die gleiche Ebene beschreiben würden?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du würdest in der Matrix eine Nullzeile erzeugen und dementsprechend zwei der Unbekannten parametrisieren.

Hast du die Schnittgerade denn jetzt ausgerechnet?
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt weiß ich auch was du mit der Nullzeile gemeint hast. Klar dann bekomm ich wieder eine Ebenengleichung!!

Ja hab ich. Ich hab zwei mal folgende Lösung:

abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Richtungsvektor ist kollinear zum Vektorprodukt der beiden Normalvektoren.
(3 Vektorprodukte hätten also direkt zum Ziel geführt.)
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

@abc

smile
Du schreibst der beiden Normalvektoren. Normalvektoren sind doch Vektoren die auf einem anderen Senkrecht stehen oder?
Um den Normalvektor einer Ebene zu erhalten mach ich das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren?
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stand ganz früh in diesem Thread.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja daran kann ich mich erinnern!

Hier in diesem Fall ist es ja so das ich eine Gerade als Ergebnis hab.

Muss ich dann nochmal das Kreuzprodukt der beiden Normalvektoren bilden?

Wie würde das Ergebnis aussehen wenn die beiden Ebenengleichungen die gleiche Ebene beschreiben würden.
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von A_BOS12
Wie würde das Ergebnis aussehen wenn die beiden Ebenengleichungen die gleiche Ebene beschreiben würden.


Die beiden Normalvektoren wären kollinear.
A_BOS12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ergebnis in diesem Fall:

Dieser Richtungsvektor ist kollinear zum Vektorprodukt der beiden Normalvektoren.

Ok! Woher bekomme bei deiner Lösung diesen Richtungsvektor?

Lösung falls die Ebene identisch sind:

Die beiden Normalvektoren sind kollinear.

Kollinear bedeutet: Das der eine Vektor ein vielfaches des anderen Vektors ist?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von abc2011
Zitat:
Original von A_BOS12
Wie würde das Ergebnis aussehen wenn die beiden Ebenengleichungen die gleiche Ebene beschreiben würden.


Die beiden Normalvektoren wären kollinear.


Das trifft im allgemeinen auch bei Parallelität zu, in diesem Fall ist das richtig, da wir in der Aufgabenstellung bereits sehen, dass die Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben.

Allgemein müsste man dann noch zeigen, dass ein beliebiger Punkt der einen Ebene auch in der anderen liegt.
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Die einfachste Lösung ist, ein LGS aufzustellen und zu schauen, welche Dimension der Lösungsraum hat, ist er selbst wieder eine Ebene, so sind die beiden Ebenen gleich und die Schnittebene ist die Ebene selbst, ist er eindimensional, so schneiden sie sich in einer Geraden.


Warum wurde denn Draos' Ansatz nicht weiter verfolgt? Der ist doch hundertmal einfacher, als ein 3×4-Gleichungssystem zu lösen.

Zunächst einmal ist ein Punkt beider Ebenen. Mit und bekommt man zwei weitere Punkte der ersten Ebene. Nach Konstruktion hat man jetzt drei unabhängige Punkte (also drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen). Wenn nun und auch der zweiten Ebene angehören, sind die Ebenen identisch, im andern Fall schneiden sie sich in einer Geraden.

Die Punktprobe mit in der zweiten Ebene liefert aus den ersten beiden Gleichungen mit den dortigen Parametern und . Die dritte Gleichung wird mit diesen Werten aber nicht erfüllt. Also liegt nicht in der zweiten Ebene. Durch das negative Ergebnis braucht man jetzt gar nicht mehr. Man ist schon fertig.

Natürlich kann man auch, wie abc2011 vorschlägt, mit dem Vektorprodukt Normalenvektoren der Ebenen berechnen, sofern man diesen Kalkül schon kennt.
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