nichtleere Teilmenge von N und kleinstes Element

25.02.2011, 19:05	bauhaushali	Auf diesen Beitrag antworten »
nichtleere Teilmenge von N und kleinstes Element Meine Frage: Es geht mir um das Verständnis eines offensichtlich relativ einfachen und grundlegenden Beweis. Es gilt zu zeigen "Sei A eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen. Dann enthält A ein kleinstes Element" Meine Ideen: Der Beweis der mir vorliegt beginnt wie folgt: Wir werden zeigen: Wenn $\begin{eqnarray} A\subseteq\mathbb{N} \end{eqnarray}$ kein kleinstes Element enthält, dann ist A die leere Menge. Das zeigen wir induktiv: Für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt: Wenn A kein kleinstes Element enthält, dann ist $\begin{eqnarray} n\in A \end{eqnarray}$ Induktionsanfang: Wenn $\begin{eqnarray} 1\in A \end{eqnarray}$ dann ist 1 das kleinste Element von A: Also $\begin{eqnarray} 1\notin A \end{eqnarray}$ Das verstehe ich nicht, der Beweis geht noch weiter. Weil 1 kleinstes Element von A ist ist es keines von A??? Helft mir mal auf die Sprünge, ist das sowas wie ein Induktiver Widerspruchsbeweis?
25.02.2011, 19:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis hat folgende Struktur: Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray} A \subseteq \mathbb N \end{eqnarray}$ kein kleinstes Element hat. Und wollen wir zeigen, dass A dann leer ist. Dazu zeigen wir induktiv: $\begin{eqnarray} n \notin A \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Dass 1 nicht in A liegt ist doch klar. Denn wenn dem so wäre, dann wäre 1 ja offensichtlich das kleinste Element.
26.02.2011, 15:51	bauhaushali	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, nun schau ich auf meine Unterlagen und es schaut auch ganz klar aus! Manchmal steht man auf dem Schlauch....

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