Flächenberechnung

25.02.2011, 19:14

NewTi

Flächenberechnung

Aufgabe:
Fertige eine Skizze an und lies die Schnittstellen ab. Berechne die von den Graphen von f und g eingeschlossene Fläche.

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{1-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = (1-x)*x+e \end{eqnarray*}$

Schnittstellen in $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

Also bilden wir das Integral von 0 bis 1 von $\begin{eqnarray*} g(x) - f(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^1 \! g(x) - f(x) \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^1 \! ((1-e) * x + e - e ^{1-x})dx \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \left. ((1-e) * x + e - e ^{1-x}) \right|_{0}^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1/2 * (1-e) * x^2 + e + e ^{1-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1/2 - 1/2 * e * 1 + e + e ^{1-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1/2 - 1/2 * e * 1 + e + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 3/2 - 1/2 * e + e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1/2 * e + 3/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \approx 2,859140914 \end{eqnarray*}$

stimmt dies so? Ich war besonders bei der Aufleitung von dem $\begin{eqnarray*} e ^ {1-x} \end{eqnarray*}$ nicht sicher.

Danke!

Grüße aus Frankfurt

25.02.2011, 19:20

tigerbine

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RE: Flächenberechnung
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = (1-x)x+e \end{eqnarray*}$

Hallo, wir kommst du auf die zweite Schnittstelle? verwirrt

25.02.2011, 19:47

NewTi

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Sorry, nur ein kleiner Tippfehler Big Laugh

$\begin{eqnarray*} g(x) = (1-e) * x + e \end{eqnarray*}$

Aber der Rest stimmt dann wieder.

Danke!

25.02.2011, 19:53

tigerbine

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RE: Flächenberechnung
Dann nochmal:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = (1-e)x+e \end{eqnarray*}$

So, für die Fläche ist es nun wichtig, die richtige Differenz zu bilden. Da solltest du also deine Entscheidung für

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^1 \! (g(x) - f(x))~dx\ \end{eqnarray*}$

nicht unkommentiert lassen, sowie das wichtige dx ergänzen und klammern setzen. Das ist dir klar? Dann rechne ich weiter nach.

25.02.2011, 19:57

NewTi

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Ja, ist klar. War nur so in eile. Stimmt das Ergebnis dann jetzt?!

Danke!

25.02.2011, 20:03

tigerbine

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RE: Flächenberechnung
Grundlagen sind wichtig, daher spreche ich sie auch vorab an. Du musst mehr auf die "Tippfehler" achten. Fehler war ja schon in der Funktion. Für Helfer ist das sehr ärgerlich. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A &&= \int_0^1 \! ((1-e)x+e - e^{1-x})~dx &&=\left[\frac{(1-e)}{2}x^2 + ex +e^{1-x} \right]_0^1 \end{eqnarray*}$

Warum ist bei dir "e" unverändert geblieben?

25.02.2011, 20:08

NewTi

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Oh, stimmt. Habe vergessen, das $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ aufzuleiten Big Laugh

25.02.2011, 20:09

NewTi

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Aber dies ändert doch nichts daran, dass das folgende korrekt ist, da $\begin{eqnarray*} e*1 = e \end{eqnarray*}$ ist, oder?

25.02.2011, 20:34

tigerbine

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Korrektoralgorithmus bricht bei Fehler ab. Ob sie sich auswirken oder nicht. Augenzwinkern

Zumal es sich bei "0" ja schon auswirkt. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A &&= \int_0^1 \! ((1-e)x+e - e^{1-x})~dx &&=\left[\frac{(1-e)}{2}x^2 + ex +e^{1-x} \right]_0^1 &&=\left[\frac{(1-e)}{2} + e + e^{0} \right] - \left[0 + 0+ e \right] &&=0.5 -0.5e + e + 1 - e &&=1.5 - 0.5e &&\approx 0.14 \end{eqnarray*}$

25.02.2011, 23:17

NewTi

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Okay, herzlichen Dank! Bin das Ganze noch einmal durchgegangen und habe die Fehler erkannt und diese Aufgabe so korrigiert, dass ich ebenfalls auf dieses Ergebnis komme!

25.02.2011, 23:20

tigerbine

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RE: Flächenberechnung

Zitat:

Original von NewTi
Grüße aus Frankfurt

Grüße nach Mainhatten. Wink

(Oder?)

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Flächenberechnung

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