Vollständige Induktion

25.02.2011, 20:53

JeyB

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Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo,

ich komme momentan bei einem Beweis, welchen man mit der vollständigen Induktion beweisen muss nicht weiter. Ich hänge genauer gesagt beim Induktionsschluss (Induktionsbeweis). Folgendes muss bewiesen werden:
$\begin{eqnarray*} 3^{n} - 3 \end{eqnarray*}$ ist durch 6 teilbar wobei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N : n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein bisherigen Ansätze sehen wie folgt aus:

Induktionsannahme: n = 1
$\begin{eqnarray*} 3^{1} - 3 = 0 = \frac{0}{6} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 ist durch 6 teilbar

Induktionsvoraussetzung:
$\begin{eqnarray*} 3^{n} - 3 \end{eqnarray*}$ ist durch 6 teilbar

Induktionsbehauptung: n = n + 1
$\begin{eqnarray*} 3^{n + 1} - 3 \end{eqnarray*}$ ist durch 6 teilbar

Induktionsbeweis:
$\begin{eqnarray*} 3^{n + 1} - 3 = \end{eqnarray*}$ ... ? Wie kann ich das nun aufsplitten?

25.02.2011, 20:55

Iorek

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$\begin{eqnarray*} 3^{n+1}=3\cdot 3^n \end{eqnarray*}$ hilft weiter. smile

smile

25.02.2011, 20:56

Ibn Batuta

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Tipp:
$\begin{eqnarray*} 3\cdot 3^n-1=3\cdot(3^n+3-3)-3 \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

Edit: Zu spät

25.02.2011, 21:12

JeyB

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Danke für eure schnelle Antwort,

aber ich verstehe nicht wie ich von diesem Schritt (die -3 mal ausgeschlossen)
$\begin{eqnarray*} 3^{n + 1} \end{eqnarray*}$
auf diesen Schritt komme
$\begin{eqnarray*} = 3 \cdot 3^{n} \end{eqnarray*}$

edit: Ok, hab mich verguckt

25.02.2011, 21:18

JeyB

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$\begin{eqnarray*} 3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n} - 3 \end{eqnarray*}$

aber der Beweis ist doch dann noch nicht abgeschlossen oder? Wie wird der nächste Schritt realisiert?

25.02.2011, 21:20

Iorek

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Natürlich bist du noch nicht fertig, du musst noch die Teilbarkeit durch 6 zeigen.

Klammer aus, dann bist du fast fertig.

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25.02.2011, 21:38

JeyB

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Wenn ich die 3 ausklammer dann erhalte ich diesen Ausdruck
$\begin{eqnarray*} 3\left(1^{n + 1} - 1 \right) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht wie ich die teilbarkeit durch 6 beweisen soll.

25.02.2011, 21:39

Iorek

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Das erhältst du bestimmt nicht, du hast falsch ausgeklammert.

25.02.2011, 21:44

JeyB

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Ich muss leider zugeben, dass ich das Ausklammern insbesondere von diesem Term nicht so hinbekomme. Hatte leider seit 3 Jahren kein Mathe und bin daher bei solchen einfachen Sachen (Ausklammern) wohl nicht in Übung.

Im Prinzip steht da ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} 3^{1} \cdot 3^{n} - 3^{1} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt die Basis 3 ausklammern, da die in jedem Term vorkommt oder?

25.02.2011, 21:46

Iorek

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Ja, die 3 kannst (und solltest) du ausklammern: $\begin{eqnarray*} 3\cdot(...) \end{eqnarray*}$ , was bleibt dann vom Minuend, was vom Subtrahenden übrig?

Edit: die "Basis 3" wie du es ausdrückst und anscheinend durchgeführt hast, kannst du nicht ausklammern, du klammerst den Faktor 3 aus.

25.02.2011, 21:53

JeyB

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Ich würde sagen

$\begin{eqnarray*} 3\left(1 \cdot 1^{n} - 1 \right) \end{eqnarray*}$
oder?

25.02.2011, 21:55

Iorek

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Nein, du klammerst den Faktor 3 aus; so wie es jetzt da steht wäre der Ausdruck in der Klammer konstant 0.

Distributivgesetz: $\begin{eqnarray*} a\cdot b \pm a\cdot c = a(b\pm c) \end{eqnarray*}$

25.02.2011, 22:16

JeyB

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Tut mir leid aber wenn ich das Distributivgesetz anwende dann erhalte ich das hier

Der Faktor 3 ist laut Distributivgesetz a. und
$\begin{eqnarray*} 3^{n} \end{eqnarray*}$
ist b sprich

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3^{n} - 3 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \left(1^{n} - 1 \right) \end{eqnarray*}$

Aber dann würde ja 0 rauskommen...

Ich glaub ich bin zu blöd dafür...

25.02.2011, 22:28

JeyB

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Wenn ich auf einen Term kommen würde, der das vielfache von 6 ist, dann hätte ich ja bewiesen das der term durch 6 teilbar ist. Aber ich komme nicht drauf. Kann mir vielleicht jemand für diese letzten Schritte den Lösungsweg angeben? Wäre wirklich sehr dankbar dafür.

25.02.2011, 22:55

Iorek

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Was machst du denn mit den $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \underbrace{3}_{=a}\cdot\underbrace{3^n}_{=b}-\underbrace{3}_{=a}\cdot\underbrace{1}_{=c}=\underbrace{3}_{=a}\cdot(?) \end{eqnarray*}$ , damit wird die 3 ausgeklammert.

25.02.2011, 22:58

Goofy2

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Zitat:

Original von JeyB
Tut mir leid aber wenn ich das Distributivgesetz anwende dann erhalte ich das hier

Der Faktor 3 ist laut Distributivgesetz a. und
$\begin{eqnarray*} 3^{n} \end{eqnarray*}$
ist b sprich

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3^{n} - 3 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \left(1^{n} - 1 \right) \end{eqnarray*}$

Aber dann würde ja 0 rauskommen...

Ich glaub ich bin zu blöd dafür...

Naja zu blöd ist vielleicht zu viel gesagt, aber du stellst dich etwas blöd an^^

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3^{n} - 3 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

das ist ja soweit richtig!!

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \left(1^{n} - 1 \right) \end{eqnarray*}$

das hier eher nicht!!

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \left(3^{n} - 1 \right) \end{eqnarray*}$ <- Das wäre das Distributivgesetz richtig angewendet.

Nun musst du einen Ausdruck finden welcher im Induktionsanfang bereits bewiesen ist....

25.02.2011, 23:17

JeyB

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achso ok, danke.
$\begin{eqnarray*} 3^{n} - 3 \end{eqnarray*}$ wurde ja bereits bewiesen. Aber dieser Ausdruck steht doch jetzt nach dem Ausklammern nicht mehr explizit da.

25.02.2011, 23:21

Iorek

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Den Induktionsanfang brauchen wir nicht direkt wie es bei anderen Aufgaben der Fall sein kann.

Wir haben zwei Faktoren, $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^n-1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt solltest du dir die Frage stellen, wann eine Zahl durch 6 teilbar ist und was du daraus mit diesen Faktoren folgern kannst.

25.02.2011, 23:33

JeyB

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Erst einmal danke das ihr mir so schnell antwortet.
hmm... Eine Zahl ist durch 6 ohne Rest teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine gerade Zahl und ihre Quersumme ohne Rest durch 3 teilbar ist. Bin grad am überlegen wie ich den Bezug zu diesen Faktoren auf die Teilbarkeit 6 zurückführen kann.

25.02.2011, 23:35

Goofy2

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Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist

Was bedeutet das nun für deinen Ausdruck?

25.02.2011, 23:35

Iorek

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Du hast es quasi schon formuliert: sie ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.

Wie sieht es jetzt mit $\begin{eqnarray*} 3\cdot (3^n-1) \end{eqnarray*}$ aus, ist diese durch 2 und durch 3 teilbar?

Edit: Goofy2, ich bin mir sicher, diesen Thread zu Ende bringen zu können, im Sinne unseres Boardprinzips würde ich dich bitten, deinen (ähnlichen) Lösungsweg nicht dazwischen zu posten.

25.02.2011, 23:38

Goofy2

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OK

Aber ich hab doch vor dir gepostet?

25.02.2011, 23:44

JeyB

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ah ok.
Ja der Ausdruck
$\begin{eqnarray*} 3\cdot (3^n-1) \end{eqnarray*}$
durch 2 und durch 3 teilbar, d.h.
der Faktor 3 ist immer durch 3 teilbar und der Ausdruck
$\begin{eqnarray*} (3^n-1) \end{eqnarray*}$
ist immer durch 2 teilbar und manchmal sogar durch 3 teilbar und
da dies die Voraussetzung für die Teilbarkeit durch 6 ist, ist der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} 3\cdot (3^n-1) \end{eqnarray*}$

auch durch 6 teilbar. Ist diese Schlussfolgerung korrekt?

25.02.2011, 23:50

Iorek

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Die gesamte Schlußfolgerung ist korrekt, 3 ist trivialerweise durch 3 teilbar, $\begin{eqnarray*} 3^n-1 \end{eqnarray*}$ ist durch 2 teilbar, auch wenn du dafür vllt. noch einen halben Satz Begründung zu schreiben solltest.

Wann aber ist der $\begin{eqnarray*} 3^n-1 \end{eqnarray*}$ durch 3 teilbar? verwirrt

verwirrt

Insgesamt ist $\begin{eqnarray*} 3\cdot (3^n-1) \end{eqnarray*}$ durch 6 teilbar, damit gilt die Behauptung nach dem Induktionsprinzip.

25.02.2011, 23:56

JeyB

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ok stimmt du hast recht. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 3^n-1 \end{eqnarray*}$ ist natürlich immer nur durch 2 teilbar. Vielen Dank euch beiden. Habt mir sehr geholfen. Hatte mit anderen Induktionsbeweise keine Probleme, weil ich es immer gewohnt war, das am Ende wieder das gleiche dastehen muss, wie in der Induktionsbehauptung. Dank euch kann ich nun auch Induktionsbeweise mit Teilbarkeit beweisen, danke.

26.02.2011, 12:25

Ibn Batuta

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Hi,

da ich gefragt wurde, was ich mit meinem Schritt mir erhoffe, hier mein Vorschlag zur Lösung:

Ind.Anfang.: $\begin{eqnarray*} n=1: 3^1-3=0 \end{eqnarray*}$ , durch 6 teilbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ wahre Aussage

Ind.Vorauss.: Die Behauptung gelte für ein fixes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Ind. Schritt: $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{n+1}-3=3\cdot 3^n - 3=3\cdot(3^n+3-3)-3 \end{eqnarray*}$

Das ist aber nun:

$\begin{eqnarray*} 3\cdot(3^n+3-3)-3=3\cdot(\underbrace{3^n-3}_{\text{Ind.Vor.}})+3\cdot 3-3 \end{eqnarray*}$

Umformen ergibt: $\begin{eqnarray*} 3\cdot(3^n-3)+6 \end{eqnarray*}$

Damit ist es auch durch 6 teilbar.

Ibn Batuta

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