Präsentation der S4

25.02.2011, 22:17	Jan T.	Auf diesen Beitrag antworten »
Präsentation der S4 Guten Abend zusammen, ich habe G durch Erzeuger und definierende Relationen gegeben ( $\begin{eqnarray} G = < a, b \mid a^2, b^3, (ab)^4 > \end{eqnarray}$ ) und will die Isomorphie zur $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ zeigen. Also, um genau zu sein, einen bijektiven Homomorphismus der Art $\begin{eqnarray} \varphi: < a, b \mid a^2, b^3, (ab)^4 > \to S_4 \end{eqnarray}$ finden. Einen surjektiven Homomorphismus findet man recht schnell indem man die Abbildung wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} a \mapsto (1,2),\ b \mapsto (2,3,4) \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} < (1,2),\ (2,3,4) > = S_4 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \vert G \vert \ge 24 \end{eqnarray}$ . Bloß wie kann ich zeigen, dass meine Abbildung auch injektiv ist, oder dass auch gelten muss $\begin{eqnarray} \vert G \vert \le 24 \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank im Voraus für die Mühe einer Antwort! Jan
25.02.2011, 22:27	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Homomorphismus ist nicht wohldefiniert, weil $\begin{eqnarray} \varphi(a)^3 \neq 1 \end{eqnarray}$ . Das lässt sich natürlich relativ fix beheben. Du weißt jetzt, das gilt $\begin{eqnarray} \|G\| \geq 24 \end{eqnarray}$ . Um jetzt die Gleichheit zu zeigen, wäre der naheliegenste Ansatz einfach auf G einfach mal den Bahnenalgorithmus loszulassen und unter Ausnutzung der gegebenen Relationen zu zeigen, dass die Ordnung auch kleiner-gleich 24 ist (Tipp: Man kann natürlich gucken, welche Produkte in den Bildern gleich sind und dann eine Begründung suchen, wieso das schon in G gelten muss). Alternativ würde ich folgendes versuchen: Zeige die Isomorphie von $\begin{eqnarray} G' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ sowie von $\begin{eqnarray} G/G' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ . Letzteres ist sehr leicht und ersteres vermutlich zumindest weniger aufwendig als die Gesamtisomorphie.
25.02.2011, 22:30	Jan T.	Auf diesen Beitrag antworten »
Da war ein Tippfehler. Habe es bereits behoben. Werde deine Taktik mal ausprobieren. Danke vorerst für deine Hilfe.
26.02.2011, 11:47	Jan T.	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich weiß, dass die jede Gruppe auf der Menge ihrer Untergruppen durch schnöde Linksmultiplikation operiert, habe ich mir nun die Bahn von $\begin{eqnarray} B = <b> \end{eqnarray}$ angeschaut. (Hier hätte man sich ebensogut die Bahn von $\begin{eqnarray} <a> \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} <ab> \end{eqnarray}$ anschauen können, oder?) Edit: Mir wird gerade klar, dass man natürlich am Besten $\begin{eqnarray} <ab> \end{eqnarray}$ anschaut, da man dann wahrscheinlich nur 6 Bahnenelemente hätte berechnen müssen. Ich weiß $\begin{eqnarray} \vert B \vert \mid 3 \end{eqnarray}$ und die von mir errechnete Bahn hatte 8 Elemente, also $\begin{eqnarray} \vert G \vert = \vert B \vert \cdot \vert G/B \vert \le 3 \cdot 8 = 24 \end{eqnarray}$ . Richtig? Vielen Dank soweit! Jetzt wüsste ich aber sehr gerne noch, wieso die zweite vorgeschlagene Variante funktioniert. Was du da vorhast, raffe ich nämlich noch nicht. Meinst du mit diesem $\begin{eqnarray} G' \end{eqnarray}$ die Kommutatorgruppe? Kenne mich da noch nicht so aus..
26.02.2011, 11:53	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du da mit dem Bahnenalgorithmus gemacht hast kann nicht stimmen. Die Gruppe operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation schließlich transitiv. Du wirst also eine Bahn mit 24 Elementen erhalten. Und ja, mit $\begin{eqnarray} G' \end{eqnarray}$ ist die Kommutatoruntergruppe gemeint. Die ist manchmal recht hilfreich, weil es sehr leicht ist über den Elementarteileralgorithmus den Isomorphietyp von $\begin{eqnarray} G/G' \end{eqnarray}$ zu bestimmen, wenn man eine Präsentation der Gruppe gegeben hat.

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