Ableitung von (sin(x))^(1/x)

25.02.2011, 23:09

Derail

Ableitung von (sin(x))^(1/x)

Meine Frage:
Hallo, ich stehe vor dem oben genannten Problem:

Ich möchte gerne die 1. Ableitung von f(x)=(sin(x))^(1/x) wissen.

Meine Ideen:
Also ich dachte mir ich verwende erstmal die Kettenregel, dann komme ich auf:

f'(x) = sin(x)^-(1/x^2) * cos (x)

Da 1/x ja die äußere und sin(x) die innere Funktion wäre. Nur bin ich mir irgendwie unsicher ob das so richtig ist.

Ich habe auch probiert die (1/x) durch multiplizieren mit dem ln weg zu bekommen nur komme ich dann auf eine e-funktion wo ich nicht weiter weiß wie ich mit dieser weiter umgehen soll.

Hier die E-Funktion

f(x) = e^((1/x)*lnsin(x))

Ich bin +ber jede Hilfe sehr dankbar. smile

25.02.2011, 23:11

Calvin

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RE: Ableitung von (sin(x))^(1/x)

Zitat:

Original von Derail
Also ich dachte mir ich verwende erstmal die Kettenregel, dann komme ich auf:

f'(x) = sin(x)^-(1/x^2) * cos (x)

Das ist falsch. Die Kettenregel kannst du hier nicht anwenden, weil sowohl die äußere als auch die innere Funktion von x abhängen.

Zitat:

Ich habe auch probiert die (1/x) durch multiplizieren mit dem ln weg zu bekommen nur komme ich dann auf eine e-funktion wo ich nicht weiter weiß wie ich mit dieser weiter umgehen soll.

Hier die E-Funktion

f(x) = e^((1/x)*lnsin(x))

Das ist der richtige Ansatz. Hier kannst du mit einer Kombination aus Ketten- und Produktregel ableiten.

25.02.2011, 23:47

Derail

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Gut, nehmen wir dann also an ich muss mit Hilfe der Kettenregel dann auf folgendes kommen:

f '(x) = ( (ln sin(x) ) / x )' *e^ ((ln sin(x)) / x )

Dann müsste ich nur noch die Ableitung von ( (ln sin(x) ) / x ) bilden und komme auf das Ergebnis ?

Ist wahrscheinlich schon echt zu spät und mein Gehirn ist Matsch...

Grüße

26.02.2011, 00:29

Derail

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f ' (x) = e^((ln sinx) / x ) * 1/x * cosx - ln sinx * 1/x

Stimmt das oder bin ich total am Ziel vorbei ?

26.02.2011, 00:49

Kawarider90

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eher letzteres

leit mal das richtig ab: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}ln( sinx) \end{eqnarray*}$

beachte produkt und kettenregel

26.02.2011, 09:22

Derail

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((sin(x)*cos(x))/x^2) - ((ln(sin(x))/x^2)

26.02.2011, 09:52

Calvin

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Der erste Teil scheint mir falsch.

Rechne mal bitte Schritt für Schritt

$\begin{eqnarray*} h(x)=u(x)\cdot v(x)=\frac{1}{x}\cdot\ln{(\sin{x})} \end{eqnarray*}$

Es ist also

$\begin{eqnarray*} u(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x)=\ln{(\sin{x})} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} u'(x)=? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x)=? \end{eqnarray*}$

Anschließend mit der Produktregel h(x) ableiten

$\begin{eqnarray*} h'(x)=u(x)v'(x)+u'(x)v(x) \end{eqnarray*}$

26.02.2011, 10:10

Derail

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v'(x) = -(1/x^2)

u'(x) = (1/sinx)*cosx => u'(x) = cosx / sinx

h'(x) = (1/x) * (cosx / sinx) - (ln(sinx) / x^2 )

Richtig =) ?

26.02.2011, 10:12

Calvin

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Ja. Und jetzt kannst du dich an die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\frac{1}{x}\ln{\sin(x)}} \end{eqnarray*}$ machen.

26.02.2011, 10:19

Derail

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Also es heißt ja:

f(x) = e^h(x)
f '(x) = h'(x) * e^h(x)

Dann würde aus dem gegebenen folgen:

f '(x) = (1/x) * (cosx / sinx) - (ln(sinx) / x^2 ) * e^((1/x)*ln(sinx))

26.02.2011, 10:27

Calvin

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Um $\begin{eqnarray*} h'(x) \end{eqnarray*}$ müssen noch Klammern rum Lehrer

26.02.2011, 10:36

Derail

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f '(x) = ( (1/x) * (cosx / sinx) - (ln(sinx) / x^2 ) ) * e^((1/x)*ln(sinx))

Ich sage dann mal vielen Dank für die tolle Hilfe ! smile

Es ist echt besser, es Schritt für Schritt zu machen. Ich werfe sonst zuviel durcheinander.

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