intervallschachtellung??

26.02.2011, 11:24

Magnus87

intervallschachtellung??

hallo was genau ist denn intervallschachtelung?

also so weit ich das verstanden habe ist es das, wenn man z.B. eine Zahl zwischen vielen Reellen zaheln sucht...

man nähert sich der gewissen zahl immer mehr... hoffe es stimmt halbwegs...

wann wendet man die intervallschachtellung denn überhaupt an ? rechenbeispiel alltag ?

danke für eure Hilfe

26.02.2011, 19:04

Hubert1965

Auf diesen Beitrag antworten »

Intervallschachtelungen verwendet man z.B. dann, wenn man den Wert für eine bestimmte Zahl sucht. Ein typisches Beispiel ist die Suche nach einer Nullstelle einer Funktion.

Beispiel:
Gesucht ist der Wert jener Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f(x)~=~3-x^2 \end{eqnarray*}$ , die zwischen 0 und 4 liegt.

Lösung mittels Intervallschachtelung:
Zuerst ermittelt man die Funktionswerte an den Rändern des Intervals:
$\begin{eqnarray*} f(0)~=~3-0^2~=~3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(4)~=~3-4^2~=~-13 \end{eqnarray*}$

Da die beiden Funktionswerte an den Randstellen unterschiedliche Vorzeichen haben und ein paar andere Bedingungen zutreffen, auf die ich hier nicht eingehen will, muss dieses Intervall eine Nullstelle enthalten. Um sie zu finden, berechne ich irgendwo innerhalb des Intervalls einen neuen Funktionswert. Weil mir gerade danach ist, mache ich das bei x=1:
$\begin{eqnarray*} f(1)~=~3-1^2~=~2 \end{eqnarray*}$

Ich habe damit das Interval [0..4] in die beiden Intervalle [0..1] und [1..4] geteilt, und stelle aufgrund des nun bekannten Wertes von x=1 fest, dass die Nullstelle im Intervall [1..4] liegen muss.
Ich teile daher dieses Intervall, diesmal (wieder aus einer Laune heraus) bei x=2:
$\begin{eqnarray*} f(2)~=~3-2^2~=~-1 \end{eqnarray*}$

Damit weiß ich nun, dass ich in [1..2] weitersuchen muss.

Das ganze wiederholt man so lange, bis man ein Intervall hat, das so klein ist, dass man damit zufrieden ist.

Diese Methode, bei der ein Intervall immer weiter unterteilt wird, um sich einem Punkt anzunähern, der irgendwo in diesem Interval liegen muss, nennt man Intervallschachtelung.

01.07.2011, 14:25

Exooo

Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe ich das richtig verstanden, das hier "ertastet" wird, wie man auf die Nullstelle kommt wobei die Nullstelle ja 0 sein muss!?

D.h. für X eine "Launezahl" einfügen und dauern durchrechnen bis man auf das Ergebnis kommt?

Wenn die Nullstelle 0 sein muss, kann man dann nicht einfach eine Umkehrrechnung machen? Also sagen wir so die Frage umstellen?

Ich weiß das die Nullstelle den Wert für X = 0 haben muss, sonst wäre es ja nicht die Nullstelle.
D.h. diese gesuchte Wert mit X² muss ja 3 sein, das heißt die "Wurzel aus drei"² da 3 - 3 = 0? Oder verwechsle ich da grad was?

MFG

Edit: Nochmal zur Verbildlichung: X = 1,73...²

01.07.2011, 15:54

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Exooo
Also habe ich das richtig verstanden, das hier "ertastet" wird, wie man auf die Nullstelle kommt wobei die Nullstelle ja 0 sein muss!?

Ja, denn $\begin{eqnarray*} x_N\text{ ist Nullstelle von }f\quad \Leftrightarrow\quad f\left(x_N\right)=0 \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung für Nullstellen.

Zitat:

D.h. für X eine "Launezahl" einfügen und dauern durchrechnen bis man auf das Ergebnis kommt?

Nun ja, man kann natürlich immer testen, ob man der Nullstelle nahe ist, indem man den Funktionswert ausrechnet. Allerdings ist es sinnvoll, sich vorher Gedanken zu machen, wo sich die Nullstelle ungefähr befinden könnte.
In dem Beispiel Nullstellensuche von $\begin{eqnarray*} f(x)~=~3-x^2 \end{eqnarray*}$ ist es noch ziemlich einfach, wenn vorausgesetzt wird, dass man im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,~4] \end{eqnarray*}$ suchen soll.

Zitat:

Wenn die Nullstelle 0 sein muss, kann man dann nicht einfach eine Umkehrrechnung machen? Also sagen wir so die Frage umstellen?

Man kann das Problem natürlich auch analytisch lösen, also wie bekannt aus der Schule Nullstellensuche (was bei der o.g. Funktion auch von Vorteil ist, da es einfach geht, wenn man nicht gerade die Quadratwurzel aus 3 auf viele Nachkommastellen genau angeben möchte...)
Es ist nun $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ die gesuchte Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(x_N)=0\quad\Leftrightarrow\quad 3-x_N^2=0\quad\Leftrightarrow\quad 3=xN^2 \end{eqnarray*}$ .
Hier gibt es nun zwei Lösungen:
$\begin{eqnarray*} x_{N_1}=\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x_{N_2}=- \sqrt 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich weiß das die Nullstelle den Wert für X = 0 haben muss, sonst wäre es ja nicht die Nullstelle.
D.h. diese gesuchte Wert mit X² muss ja 3 sein, das heißt die "Wurzel aus drei"² da 3 - 3 = 0? Oder verwechsle ich da grad was?

Wie meinst du das? Wie oben schon gesagt, ist eine Nullstelle die Zahl aus dem Definitionsbereich, die eingesetzt in die Funktionsgleichung null ergibt.
Und, ja, eine Nullstelle ist $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Nochmal zur Verbildlichung: X = 1,73...²

Wenn du die Nullstelle hier mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kennzeichnest, ist das falsch.
Denn, wie du selber gesagt hast, ist eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} \sqrt 3\neq3 \end{eqnarray*}$ .
Da 1,73... offensichtlich den Anfang der Quadratwurzel aus 3 darstelle sollte, wäre das zum Quadrat gleich 3, also x=3, was ja nicht stimmt (ist keine Nullstelle, kannst du selber nachrechnen).

02.07.2011, 15:20

Exooo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Pascal95.

Vorab ist zu sagen, das ich mit den mathematischen Fachbegriffen meist wenig am Hut habe, möchte dies jedoch lernen und auch anwenden. Meist kann ich die Themenbereiche aber kenne diese nicht mit den Fachbegriffen.

Damit ich das von vornherein nochmals richtig verstehe, das Intervallschachtelungsprinzip ist für quadratischen Funktion zur Nullstellen Berechnung?

D.h. es besitzt eine/zwei oder garkeine Nullstelle/n?

So würde ich rangehen:

$\begin{eqnarray*} f(x)~=~3-x^2 \end{eqnarray*}$

Ich sehe die linke Zahl ist 3, das heißt wiederrum das es nicht nur eine Nullstelle sein kann, sondern zwei sein müssen, richtig?

Um auf die X-Achse zu kommen, wo auch die Nullstellen drauf liegen, muss ich die 3 ausgleichen bis auf 0 sodass ich genau auf der X-Achse bin. Das heißt ich mache einfach eine Umkehrrechnung, nehme die 3 und ziehe daraus die Wurzel.
Das Ergebnis wäre 1,73 ... wenn man diese potenziert so wie es in der Aufgabe steht ( $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ) kommt 3 raus und diese gleicht gleichzeitig die andere 3 aus = wir sind auf 0 = auf der X-Achse.
Somit ergibt gleichzeitig die Zahl x (wie in der Aufgabenstellung) durch meine Berechnung jetzt 1,73 ist die Nullstellen an.

x1/2=+/- 1,73

X1= 1,73
X2 = -1,73

(Die Benutzung von Latex werde ich mich gleich anschließend auseinandersetzen!)

So würde ich es berechnen und das Intervallschachtelungsprinzip macht es nicht per einfache Rechnung sondern per ein "Einsetzungsverfahren" im übertragenden Sinne um sich der Nullstellen zu nähern.

Wenn ich es vollkommen falsch sehe und meine rangehensweise total falsch ist, dann bitte korrigieren und mich lehren ... habe viel in Mathematik aufzuholen.

Andererseits wenns richtig ist: Wozu ist das Intervallschachtelungsprinzip gut? Genaue Rechnungen sind doch viel sinnvoller/gebrauchter anstatt Schätzungen die Zeit schinden!?

MFG

02.07.2011, 15:45

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Intervallschachtelung kann noch viel allgemeiner benutzt werden.

Schau doch auch mal bei Wikipedia - Intervallschachtelung.

In diesem Fall kann man die Nullstelle tatsächlich auch analytisch bestimmen, das heißt in einem geschlossenen Ausdruck, auch mit z.B. Wurzeln. Im Gegensatz dazu die numerische Lösung.

Wie man die Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ analytisch berechnet, habe ich in meinem letzten Post schon beschrieben.

Intervallschachtelung könnte sich hier trotzdem lohnen, allein schon wegen der Übung am Prinzip Big Laugh

,... oder wenn man weiß, dass es sich um die Quadratwurzel aus 3 handelt, viele Nachkommastellen zu bestimmen.

Das könnte man dann auch einfacher, z.B. eine Tabelle anlegen mit den Spaltenbeschriftungen linke Grenze, rechte Grenze, linkes Ergebnis, rechtes Ergebnis.
Dazu kann man sich einer Rückrechnung, dem Potenzieren, bedienen.

Ein Beispiel dazu hier:
[attach]20381[/attach]
Die linke und rechte Grenze bezeichne ich mit $\begin{eqnarray*} x_l \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_r \end{eqnarray*}$ .

02.07.2011, 15:59

Exooo

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die fixe antwort.

Andererseits hab ich immernoch nicht gehört, ist meine Rechnung richtig? xD
Weiß ich bis jetzt immernoch nicht ich meine ich denke bei den Thema zu sein wo ich denke, aber obs richtig ist möchte ich bestätigt haben. =)

Andererseits wie du schon grad sagtest, ist mir aufgefallen gibt viele Dinge wo man anfangs nicht ableiten kann wozu bestimmte Prinzipien zu nutze sind und im Endeffekt sind sie wichtig. Merke ich mir, werde das nicht mehr hinterfragen Augenzwinkern

MFG

02.07.2011, 16:19

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Hinterfragen darfst du gerne, wo die Intervallschachtelung Gebrauch hat.
Wie du schon gesagt hast, kann man manche Probleme nicht durch einfache Rechnungen lösen, muss also "raten".
Ich möchte hier aber klarstellen, dass die Intervallschachtelung systematisches Probieren ist, nicht etwa wie Ostereier finden.

Welche Rechnung meinst du ?

Neue Frage »

Antworten »

intervallschachtellung??

Verwandte Themen