Was sind genau x-y -Ebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem? |
| 26.02.2011, 11:41 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Was sind genau x-y -Ebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem? Hallo, ich verstehe folgende Aufgabe aus unserem Mathebuch nicht richtig: Die Punkte der x-y -Ebene kann man als Punkte beschreiben, deren z-Koordinate 0 ist. Wo liegen alle Punkte des Raumes a) deren x-Koordinate 0 ist? b) deren y-Koordinate 3 ist? vielen dank im voraus lg Meine Ideen: tut mir leid, ich habe leider keine Lösungsansätze...): |
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| 26.02.2011, 11:45 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Am besten du stellst erst mal eine Ebenengleichung für die xy-Ebene auf. |
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| 26.02.2011, 11:49 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
oh das hatten wir leider noch nicht... aber ist die x-Ebene nicht einfach der Bereich, der die Punkte der x-Achse umfasst? |
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| 26.02.2011, 11:50 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eben, darauf zielt a) ab - bloß eben mit der y-Ebene. |
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| 26.02.2011, 11:57 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
achso dann liegen, die punkte auf der y-Achse, weil ich mein im normalen Koordinatensystem liegen ja auch alle Nullstellen auf der x-Achse und hier ist jetzt die y-Achse die x-Achse, auf der alle Punkte auch 0 sind, hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt... also liegen die Punkte des Raumes auf der y-Achse...??? |
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| 26.02.2011, 12:01 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, die Punkte liegen bei a) alle auf der y-Achse (da x und z = 0). bei b) drückt man es aber am besten mit einer Ebenengleichung aus. |
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| 26.02.2011, 12:03 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ah danke ...!! und bei b) sind dann y und z = 0 ? |
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| 26.02.2011, 12:04 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also laut der Aufgabenstellung ist z=0 und y=3, während x variabel ist. |
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| 26.02.2011, 12:14 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja dann können die Punkte ja nur auf der x-Achse liegen oder? |
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| 26.02.2011, 12:17 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, weil y=3. Dadurch werden die Punkte ja seitlich von der x-Achse verschoben, kein Punkt kann also auf der x-Achse liegen, wenn z=0 und y=3. Versuch doch mal ein Punkt einzuzeichnen, zum Beispiel P(1/3/0). |
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| 26.02.2011, 12:23 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hab ich gemacht, und das sieht so aus, als würde P in der x-y-Ebene liegen...ich verstehe den zusammenhang mit der Frage nicht, aber danke schon mal, ich werde noch mal drüber nachdenken. oder du sagst es mir einfach?? (: |
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| 26.02.2011, 12:30 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Klar liegt der Punkt in der xy-Ebene aber nicht auf der x-Achse, er wird durch y=3 ja seitlich verschoben. Da x bei b) variabel ist, kann man ja keine genaue Ebenengleichung aufstellen. Man kann nur die Aussage treffen, in welchen Oktanten der Punkt immer liegen muss. Nämlich im Ersten (x>0) oder im Zweiten (x<0). Wenn x=0 geht ja nur der Punkt (0/3/0). Außerdem weiß man ja, da z=0, dass der Punkt nicht in der Höhe verschoben werden kann. |
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| 26.02.2011, 12:34 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich würde das eher (auch wegen dem Einführungssatz in der Aufgabenstellung) als zwei verschiedene Aufgaben auffassen, in welchen man sich überlegen soll wie man die Ebene x=0 und die Ebene y=3 beschreiben kann. |
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| 26.02.2011, 12:38 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ah gut (: noch eine kurze Frage zu solchen Aufgaben: Berechnen Sie die Koordinatendarstellung des Vekors a. a) P (2/5) Q (3/8) ....hier muss ich doch einfach nur P - Q rechnen und dann bekomme ich den Vektor (alles untereinander geschrieben) -3 und -5 raus oder? oder nehme ich Q - P? danke (: |
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| 26.02.2011, 12:48 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es ist egal ob du P-Q oder Q-P nimmst, aber wie kommst du auf -3 und -5? |
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| 26.02.2011, 13:06 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Was sind genau x-y -Ebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem? Bevor du dich mit den Antworten auf die gestellten Fragen abquälst, solltest du erst mal versuchen, diesen Hinweis zu verstehen:
Mach dazu mal dieses Experiment: Dein Zimmer ist ein Ausschnitt aus dem dreidimensionalen Raum. Suche dir darin eine Ecke aus, bei der der Fußboden und zwei Wände jeweils im rechten Winkel aufeinanderstehen. Diese Ecke sei von nun an der Koordinatenursprung Die Kante, die die beiden Wände miteinander bilden, ist die Z-Achse. Nimm einen kleinen länglichen Zettel, schreibe "Z-Achse" drauf, male auch noch einen großen Pfeil auf den zettel, und klebe ihn in Augenhöhe möglichst nahe an diese Kante, udn zwar so, dass der Pfeil nach oben zeigt. Die beiden Kanten, die der Fußboden mit den beiden Wänden bildet, sind die X- und die Y-Achse. Welche Kante welche Achse sein soll, darst du dir aussuchen, aber du muss dann bei dieser Wahl bleiben. Stelle zwei weitere längliche Zettel her, die du mit "X-Achse" und "Y-Achse" und jeweils eine Pfeil beschriftest. Lege diese beiden Zettel auf den Fußboden, und zwar ganz nahe an die jeweils gewählte Wand. Der Pfeil soll in beiden Fällen von der jeweils anderen Wand (also vom Koordinatenursprung) wegzeigen. Die Ebene, die die X- und Y-Achse aufspannen, ist der Fußboden. Nimm also ein Blatt Papier, schreibe "X-Y-Ebene" drauf, und leg es irgendwo auf den Fußboden. Die Wand, an deren Fuß die X-Achse entlangläuft, ist die X-Z-Ebene, denn sie wird durch die X- und die Z-Achse aufgespannt. Schreib also auf ein Blatt Papier "X-Z-Ebene" und klebe dieses Blatt wie ein Poster an diese Wand. Auf die andere Wand klebt ein Blatt mit der Aufschrift "Y-Z-Ebene". Suche dir nun einen beliebigen Punkt im Zimmer aus, z.B. eine Ecke deines Schreibtisches. Du kannst die Koordinaten dieses Punktes leicht bestimmen, indem du mit einem Maßband die Abstände zu deinen drei Ebenen misst. Wenn du parallel zur Z-Achse misst, erhältst du die Z-Koordinate. Parallel zur Z-Achse zu messen, heißt, dein Maßband so zu halten, dass es genau senkrecht von oben nach unten verläuft. Der Z-Abstand ist also nichts anderes, als der Abstand vom Fußboden. Und das ist ja die X-Y-Ebene. Analog dazu ist die X-Koordinate der Abstand zur Y-Z-Ebene und der Y-Koordinate ist der Abstand zur X-Z-Ebene. Wenn du das hast, versuche mal die Z-Koordinate eines Punktes zu bestimmen, der direkt auf deinem Fußboden liegt. Zur Erinnerung: Die Z-Koordinate ist der Abstand vom Fußboden. Die Aufgabe läuft also darauf hinaus zu bestimmen, wie weit der Fußboden vom Fußboden entfernt ist. Die Antwort ist natürlich: Null. Und nun denke wieder über diesen Satz nach:
Die Punkte der X-Y-Ebene sind alle Punkte, aus denen der Fußboden besteht. (das steht ja auch auf dem Zettel, der am Boden liegt) Und die Punkte, deren z-Koordinate 0 ist, sind alle Punkte, deren Entfernung zum Fußboden 0 ist. Der obige Satz sagt also nichts anderes aus, als dass der Fußboden sich direkt am Fußboden befindet. Kommen wir nun zu den Aufgaben:
Suche die X-Achse. Du weißt, dass die X-Koordinate eines beliebigen Punktes genau dasselbe ist wie sein Abstand von der Y-Z-Ebene. Wenn ein Punkt nun den Abstand 0 von dieser ebene hat, wo liegt er dann? - Natürlich genau in/auf dieser Ebene. Die gesuchte Antwort lautet also: Alle Punkte, deren X-Koordinate 0 ist, liegen genau in der Y-Z-Ebene.
Als Einheit wähle ich die Länge der längeren Seite eines Schulhefts. Lege also drei Schulhefte so auf den Boden, dass ihre langen Seiten genau entlang der Y-Achse verlaufen. Das Ende des dritten Heftes hat die Koordinaten (0,3,0). Nun verschiebe die Hefte so, dass sie noch immer am Boden liegen, aber von der Y-Z-Wand ungefähr den Abstand 1 haben. Damit haben wir den Punkt (1,3,0) gefunden. Duch weiteres Verschieben in die selbe Richtung erhalten wir (2,3,0), (4,3,0), (5,3,0), usw. Bleiben wir mal beim Punkt (5,3,0). Stelle genau auf diesem Punkt ein Heft senkrecht auf. Du hast damit den Punkt (5,3,1) erreicht. Eine weitere Heftlänge darüber liegt (5,3,2), darüber (5,3,3) usw. Was haben all diese Punkte gemeinsam? Wenn du eine große Glasscheibe hättest, die du so positionieren müsstest, dass all diese Punkte genau auf dieser Scheibe liegen, wo genau müsstest du diese Glasscheibe platzieren? Diese Glasscheibe würde parallel zur X-Y-Wand verlaufen, und von dieser genau 3 Heftlängen entfern sein. Und genau das ist auch die gesuchte Antwort: Alle Punkte des Raumes deren Y-Koordinate 3 ist liegen in einer Ebene, die Parallel zur X-Z-Ebene verläuft und die Y-Achse im Punkt (0,3,0) schneidet. Diese Ebene hat also von der X-Z-Ebene den Abstand 3. |
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| 26.02.2011, 13:06 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ach nein, es kommt bei Q - P dann 1 und 3 raus ( wieder untereinander geschrieben) ??? |
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| 26.02.2011, 13:10 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@ Hubert: danke für die ausführliche Erklärung (: |
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| 26.02.2011, 13:13 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Pat´ ..?? bitte eine antwort noch...(: |
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| 26.02.2011, 13:16 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ist richtig |
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| 26.02.2011, 13:18 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
okay danke...dann weiß ich bescheid. und es ist egal, dass aber bei PQ aber -1 und -3 rauskommt? |
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| 26.02.2011, 13:24 | pat` | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn die Richtung in der Aufgabe nicht entscheidend ist, dann schon - der Betrag bleibt der gleiche. |
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