Markovketten - Wie sieht der Grundraum aus?

26.02.2011, 12:04

Airblader

Markovketten - Wie sieht der Grundraum aus?

Hi,

im Zuge meines Proseminars beschäftige ich mich mit Markovketten, habe aber schon bei einer totalen Grundlage ein kleines Problem. Augenzwinkern

Nehmen wir mal als Standardbeispiel das Modellieren einer Warteschlange, dann haben wir Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_n\colon \Omega \to \mathbb{Z}^+ \end{eqnarray*}$ , die im n-ten Zeitschritt angeben sollen, wie viele Kunden an der Schlange anstehen (den Rest des Modells lassen wir mal weg).

Meine Frage ist jetzt, wie $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ hier eigentlich aussieht? Die Zufallsvariablen werden direkt wie Zahlen behandelt, d.h. es sind konstante Funktionen. Zuerst dachte ich, es sei einfach z.B. $\begin{eqnarray*} \Omega = \{\text{Warteschlange}\} \end{eqnarray*}$ , aber das wäre ja Blödsinn, da Wahrscheinlichkeiten ja als $\begin{eqnarray*} P(X_n = i) = P(\underbrace{\{\omega \in \Omega | X_n(\omega) = i\}}_{=: A_i}) \end{eqnarray*}$ zu lesen sind und daher immer $\begin{eqnarray*} A_i \in \{\emptyset, \Omega\} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} P(A_i) \in \{0, 1\} \end{eqnarray*}$ wäre.

Zugegeben, für das weitere Verständnis scheint das recht irrelevant zu sein, aber irgendwie würde ich schon gerne wissen, auf welcher Menge ich mich eigentlich bewege. Wäre also nett, wenn mir jemand den vermutlich banalen Hirnknoten entwirren könnte. In den Beispielen im Buch und im Internet finde ich leider keines, das darauf eingeht, wie $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ aussieht. Augenzwinkern

air

26.02.2011, 12:47

Cel

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Hallöchen,

wie immer gibt es keine Garantie, dass das jetzt richtig ist, aber wo im Leben gibt es schon eine Garantie? Augenzwinkern

Ich habe noch mal in mein Stoch I - Skript geschaut und dort wird das $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ auch nicht explizit aufgeschrieben. Ich meine mich erinnern zu können, dass man das Omega laut unserem Prof. nur theoretisch aufschreibt, eben, weil man von ZV'en spricht.

Passen würde hier wohl am ehesten $\begin{eqnarray*} \Omega = \{\text{Potenzielle Kunden}\} \end{eqnarray*}$ , dann würde auf jeden Fall immer $\begin{eqnarray*} A_i \subset \Omega \end{eqnarray*}$ oder eben $\begin{eqnarray*} A_i = \emptyset \end{eqnarray*}$ gelten.

Das ist mir dazu durch den Kopf gegangen. Die Stochastik-Freaks mögen mich verbessern, ein wenig länger ist die Stoch I schon her ...

26.02.2011, 14:05

dinzeoo

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$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist nicht konkret definiert. was omega genau ist weiss man also nicht, es sind "umweltzustände".

Zitat:

Die Zufallsvariablen werden direkt wie Zahlen behandelt, d.h. es sind konstante Funktionen

das stimmt meiner meinung nach nicht. dann wäre ja für alle $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=const \end{eqnarray*}$

das sollte im allgemeinen aber nicht so sein.

nochmal zum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ :
was es genau ist interessiert oft aber garnicht, viel wichtiger als Omega sind die realisationen von X.

so als ganz grobes bsp wie ich es meine:
$\begin{eqnarray*} \Omega=\{umeltzustaende\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_1(es~ regnet,~ kunde~ xy~ hat~ sich~entschlossen~ einzukaufen ~usw.)=13 \end{eqnarray*}$

d.h. zum zeitpunkt 1 sind 13 leute an der schlange, was diese 13 leute verursacht hat interessiert wie gesagt nicht, man weiss nur die ausgänge von X und auf X nimmt man dann eine verteilung an. sprich

$\begin{eqnarray*} P(es~ regnet~ usw) \end{eqnarray*}$ weiss man nicht, aber man weiss aufgrund der der verteilungsannahme(statistisch eventuell bestimmt oder per annahme etc.)

$\begin{eqnarray*} P(X=13)=... \end{eqnarray*}$ da X vll normalverteilt oder bei warteschlagen glaub ich oft exponential oder poisonverteilt.

vll ist es dir jetzt etwas klarer geworden...
geb übrigens auch keine garantie Augenzwinkern

26.02.2011, 19:06

Airblader

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Hi,

was das $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen ist, das ist mir schon klar. Mir geht es jetzt um das konkrete Beispiel der Warteschlange im Markovkettenmodell. Und mE sind die Funktionen konstant, denn es wird ja sowas wie $\begin{eqnarray*} X_1 := 2 \end{eqnarray*}$ gesetzt - und das ist durchaus sehr konstant. Augenzwinkern

(Edit: Auch hier, das gilt nur fürs aktuelle Beispiel! Dass das i.A. nicht so ist ist mir durchaus bewusst)

Dass i.A. Umweltzustände enthalten sind ist mir also durchaus klar, mich würde im konkreten Fall nur mal interessieren, welche das sind / sein können. Denn ich komme ehrlich gesagt auf keinen grünen Zweig. Mit "rein symbolisch" möchte ich mich eigentlich ungern abfinden.

Und @Cel: Ich glaube nicht, dass das hinhaut. Eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_n\colon \Omega \to \mathbb{Z}^+ \end{eqnarray*}$ , welche die Anzahl d. Kunden an der Warteschlange bezeichnen soll, macht mit diesem Omega in meinen Augen auch recht wenig Sinn. Man ordnet ja nicht jedem Kunden die Anzahl der Kunden in der Schlange zu verwirrt

air

26.02.2011, 22:55

Airblader

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Ah - die Glühbirne über meinem Kopf beginnt zu leuchten. Ich glaube, dinzeoo könnte doch recht haben, mit dem zweiten Teil seines Postings. Sprich, man hat sowas wie

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{\text{Regen}, \text{Sonnenschein}, \text{Feiertag}, \ldots\} \end{eqnarray*}$

und die Anzahl der Kunden hängt eben genau davon ab. So erscheint mir das jedenfalls schlüssig und sinnvoll. Es war halt doch so banal und hat mit Markovketten absolut nichts zu tun - aber dafür bin ich voll auf der Leitung gestanden. Big Laugh

Sofern das nicht noch jemand korrigiert, gehe ich davon aus, dass der Knoten gelöst is. Vielen Dank! Augenzwinkern

Edit: Ach, was ich noch (er-)klären sollte .. die ZVen sind wirklich nicht konstant. Man sollte schon genau lesen. Ihnen werden ja nie konstante Werte zugewiesen. Dies geschieht lediglich einmal mit $\begin{eqnarray*} X_0 := 0 \end{eqnarray*}$ in dem Buch, das ich verwende - um die Anfangsbedingungen eben zu erleichtern. Augenzwinkern

air

27.02.2011, 13:27

dinzeoo

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Zitat:

Original von Airblader
Ah - die Glühbirne über meinem Kopf beginnt zu leuchten. Ich glaube, dinzeoo könnte doch recht haben, mit dem zweiten Teil seines Postings. Sprich, man hat sowas wie

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{\text{Regen}, \text{Sonnenschein}, \text{Feiertag}, \ldots\} \end{eqnarray*}$

jepp, genauso meinte ich es.

Zitat:

ok, so seh ich das auch wieder ein Augenzwinkern

gruss dinzeooo

27.02.2011, 13:33

Dinzeoo

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eine sache noch so ganz nebenbei

Zitat:

Man sollte schon genau lesen.

das hab ich übrigens Augenzwinkern

siehe:

Zitat:

d.h. es sind konstante Funktionen.

aber darum gehts ja ansich garnicht...

also viel spass dann mit den markovketten Augenzwinkern

27.02.2011, 13:37

Airblader

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Hi,

das mit dem "Man sollte schon genau lesen" war eine Kritik an mich selber, weil ich nicht genau gelesen hatte, nicht an dich, sorry für das Missverständnis. Augenzwinkern

air

27.02.2011, 13:44

dinzeooo

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aso....

dann hab ich nix gesagt...

27.02.2011, 13:46

Airblader

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Alles klar. Danke nochmal Wink

air

27.02.2011, 15:19

Cel

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Übrigens, was ich auch noch dazu tun möchte: Mein Posting kam wohl nicht so rüber, wie ich es meinte: Omega sollte nicht die Menge aller Kunden sein, im Sinne von Kunde 1, Kunde 2, Kunde 3, ... , sondern die Menge der Kundengruppen. Also im weitesten Sinne auch ein Umweltzustand. Ein Umweltzustand ist, dass es regnet, dass Feiertag ist oder eben, dass sich Kundengruppe A bildet (zum Beispiel, weil der Laden eben in Dortmund und nicht in Stuttgart steht). Ein bisschen schief ist das zwar auch, aber nicht ganz so schief, wie es vielleicht schien. Augenzwinkern

Nichtsdestotrotz: dinzeoo hat's besser erklärt. smile

27.02.2011, 15:25

Airblader

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Jo. Hauptsache es kam nun an. Ich kämpfe schon mit anderen Problemen, die dann wirklich mit Markovketten zusammenhängen - aber ich rätsel erstmal noch eine Weile. Augenzwinkern

air

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