Integralrechnung mit Funktionsschar |
| 26.02.2011, 12:47 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Integralrechnung mit Funktionsschar Das hier ist mein erster Thread, bin ganz neu hier. =) Ich habe mich bereits als Gast durch zahlreiche Beiträge geklickt, aber keiner konnte mir eine Antwort geben. Hier kommt mein Problem: Für jedes t Element R+ ist eine Funktion ft gegeben durch (tx^2-4)/x^2. Der Graph von ft schließt im 1. Quadranten mit den Koordinatenachsen und den Geraden mit den Gleichungen x= 4/Wurzel t und y=t eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt in Abhängigkeit von t. Gut, bisher habe ich die Nullstelle von ft errechnet: Wurzel (4/t). Danach wollte ich die Schnittstellen von x und ft berechnen. Aber dann hört's schon auf. Werde da einfach nicht schlau draus. 
Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen? Liebe Grüße, Schweinski ;-) |
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| 26.02.2011, 12:56 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Hmm, und was möchtest du mit der Nullstelle nun anfangen?
Aber dieses x=4/sqrt(t) ist doch gar keine Funktion, sondern eine zur y-Achse parallele Gerade. Da Schnittpunkte zu berechnen ist irgendwie witzlos. Diese Gerade gibt dir Auskunft darüber, in welchem Intervall du integrieren musst. |
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| 26.02.2011, 13:00 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Momentchen: x ist senkrecht zur y-Achse, nicht parallel.
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| 26.02.2011, 13:01 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Die Integrationsgrenzen stimmen schon mal. Was ist denn nun unser f(x)? 
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| 26.02.2011, 13:02 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Ft (x) ist ja bereits angegeben. Brauche noch die Stammfunktion, aber wie? |
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| 26.02.2011, 13:05 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Moment, wir wollen ja die Fläche errechnen, die von den beiden Funktionen eingeschlossen wird. |
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| 26.02.2011, 13:07 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Ich dachte jetzt von y-Achse bis Wurzel (4/t) ? Weil y=t ist ja eine Asymptote, die von ft nie geschnitten werden kann. |
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| 26.02.2011, 13:09 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Das ist unser Integrationsintervall.
Ja, und die Fläche zwischen dieser Asymptote und wollen wir ja ausrechnen. Hast du sowas denn noch nie gemacht? Wenn man die Fläche zwischen zwei Funktionen ausrechnen will, nimmt man einfach die Differenzfunktion. |
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| 26.02.2011, 13:11 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar |
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| 26.02.2011, 13:16 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Wobei y ja größer als f ist, insofern wäre es andersrum besser, wir wollen ja keine negative Fläche erhalten. 
(Edit: Ah, das hast du schon korrigiert.) Du kannst es aber auch so machen, wie du es geschrieben hast, dann setzt du das Integral in Betragsstriche und alles ist okay. So, jetzt musst du nur noch integrieren.
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| 26.02.2011, 13:18 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Jep, ist mir auch eben aufgefallen. =) So, Stammfunktion von y=t wäre dann ja Y=tx. Und bei ft hapert's dann schon wieder. 
Ich hatte mir das erstmal in ft(x)= t - (4/x^2) umgeschrieben. |
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| 26.02.2011, 13:22 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Wir können den Bruch ja mal auseinander ziehen, dann schaffst du auch das.
Da kannst du vor dem Integrieren noch hammermäßig vereinfachen.
Edit: Pardon, deine Integrationsgrenzen stimmen doch gar nicht, ich bin ja noch halb verschlafen. An der Stelle x=0 ist f ja gar nicht definiert. Betrachtet werden soll sicher das Integral von 4/wurzel(t) bis unendlich. |
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| 26.02.2011, 13:31 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Edit: Okay, dann ist das da oben alles falsch... . |
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| 26.02.2011, 13:34 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Erst nochmal:
So, deine Stammfunktion hast du ja jetzt schon. Aber wenn du schon integriert hast, gehört das Integralzeichen da nicht mehr hin.
Edit: Nö, das ist nicht alles falsch, wir müssen nur die Grenzen abändern. |
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| 26.02.2011, 13:39 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Okay, die Stammfunktionen sind also richtig. *freu* Ja, man müsste eigentlich die eckigen Klammer setzen. Ich kenne mich aber noch nicht so mit dem Formeleditor aus. =P Aber wieso sollte man eine Fläche berechnen wollte, die bis ins Unendliche geht? |
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| 26.02.2011, 13:44 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Um festzustellen, dass die Fläche, obwohl sie bis ins unendliche geht, trotzdem nur endlich groß wird. Der Abstand zwischen y und f wird ja immer kleiner, weil y ja eine Asymptote ist. Das nennt sich "uneigentliches Integral". Noch nie gemacht? Mal eine Skizze für zum Beispiel t=4 (nur mal zum Angucken): Siehst du das, dass der Abstand da rechts immer kleiner wird? Das blaue ist unsere Gerade x=4/sqrt(t), in diesem Fall einfach x=4/sqrt(4)=2 |
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| 26.02.2011, 13:47 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar "Uneigentliches Integral" habe ich schon mal gehört, aber noch nie berechnen müssen. Toller Lehrer... . Der meinte noch, dass diese Aufgabe "schön" sei. Die solle man sich nicht entgehen lassen... . 
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| 26.02.2011, 13:52 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Ach weißt du, nicht der Lehrer ist panne, sondern ich. Du sollst ja im ersten Quadranten die Fläche berechnen und das heißt, dass die x-Achse die Fläche auch einschließt. Entschuldige bitte, ich habe deine Aufgabenstellung schlicht falsch gelesen. Weil ich dir damit schon viel zuviel Zeit gestohlen habe, sage ich dir jetzt, was zu tun ist: Wir kehren doch wieder zum alten Intervall zurück, nämlich von 0 bis 4/wurzel(t). Dann bleibt aber das problem, dass f an der Stelle x=0 nicht definiert ist. Aber wir können das hier mit einem ganz einfachen Trick umgehen, indem wir das ganze aufteilen. Schau mal in der Skizze, siehst du eine Möglichkeit, die Fläche, die von 0 bis 1 liegt, ganz elementar zu berechnen? |
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| 26.02.2011, 13:58 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Quatsch, du "stielst" mir keine Zeit, sondern du nimmst DIR sogar welche, um zu helfen. Finde ich echt klasse. Vielen Dank schon mal an dieser Stelle.
So, ich könnte mir denken, dass man steht 0 eine Variable einsetzen dürfte. Oder verstehe ich jetzt etwas grundlegend falsch? |
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| 26.02.2011, 13:59 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Nein, darauf wollte ich nicht hinaus. Schau mal genau in die Skizze, von 0 bis 1 ist die Fläche im ersten Quadranten unter der roten Geraden doch eigentlich ein Rechteck, oder? Und was ist der Flächeninhalt eines Rechtecks?
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| 26.02.2011, 14:01 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar A(Rechteck) = g*h ^^ |
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| 26.02.2011, 14:02 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Genau, in unserem Fall wäre das also 4, einverstanden? Jetzt war das aber ja nur eine Beispielskizze, wir wollen die Fläche ja abhängig von t ausrechnen. Also betrachten wir nochmal den allgemeinen Fall. Da ist die rote Gerade einfach y=t. Die ist in unserem Fall das h, die Höhe. Jetzt brauchen wir noch das g, die Grundseite. Was ist g? |
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| 26.02.2011, 14:07 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar g wäre dann ja von 0 bis zur Nullstele von ft, also . |
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| 26.02.2011, 14:08 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Ganz genau. Und damit die Fläche des Rechtecks einfach Das ist der erste Teil der Fläche. Für den zweiten Teil der Fläche musst du jetzt wirklich integrieren, nämlich von der Nullstelle bis zur Geraden x=4/Wurzel(t). Bin jetzt für ein paar Minuten weg. |
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| 26.02.2011, 14:19 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Und dann fehlt noch wie gesagt das Integral von Nullstelle bis zur Geraden x, das dann dazuaddiert werden muss, nech? Jop, bin auch erstmal was essen. Dankeschön nochmal.
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| 26.02.2011, 14:26 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Ganz genau. 
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| 26.02.2011, 15:22 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Gut, ich habe mich mal dran gesetzt. 100-pro bin ich mir nicht sicher: (Für den Rest der Rechnung brauche ich zu lange mit dem Formeleditor.) Auf jeden Fall komme ich zum Schluss auf: . Das ist dann der Inhalt in Abhängigkeit von t? Was für ein Aufwand... 
Edit: Ohne Grafik würde man in der Klausur da niemals drauf kommen. |
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| 26.02.2011, 15:27 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Hmm, nicht ganz, ich komme auf etwas anderes. Ich kann mir schon denken, was falsch gelaufen ist. Deine Stammfunktion war
Hast du hier vielleicht das Minus unterschlagen? Du erhälst dann ja -4/x. Du hast wohl mit +4/x als Stammfunktion gerechnet, oder? Oder sonst irgendein Vorzeichenfehler... So soll's aussehen. |
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| 26.02.2011, 15:36 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Ja, habe "plus" benutzt. Komme darauf folgerndermaßen: ft(x) = (tx^2)/x^2 - 4/x^2 = t - 4x^-2 Ft(X) = tx - (4/-1) x^-1 = tx + 4/x Etwa nicht?
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| 26.02.2011, 15:38 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Doch doch, ist schon in Ordnung. Aber diese Funktion musst du ja von y abziehen, bzw. von der Stammfunktion von y! |
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| 26.02.2011, 15:40 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Jop, also: Rechteck + | [ tx - (tx+4/x] | Edit: Ach, jetzt sehe ich's! Stimmt dann als Endergebnis 3 Wurzel t ? |
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| 26.02.2011, 15:41 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Ja, und das macht Rechteck + | [ tx - tx-4/x] | =Rechteck + | [-4/x] | um mal bei deiner Schreibweise zu bleiben.
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| 26.02.2011, 15:45 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Ja, darauf komme ich auch. 
Was das mit der Klausur betrifft: So ganz einfach ist es vielleicht nicht, aber wenn man sowas mal gesehen hat, dann kommt man da beim nächsten Mal auch eher drauf. Beim nächsten Mal, fällt dir das bestimmt auch leichter. Ich hatte solche Aufgaben schon öfters gesehen. Dass man da beim Integrieren dann noch mit ganz elementargeometrischen Überlegungen ran muss, ist gar nicht so selten. Und dein Lehrer hat in dem Punkt recht: Schöne Aufgaben sind das wirklich. Skizzen sind aber natürlich immer hilfreich. |
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| 26.02.2011, 15:49 | Schweinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Wjei, das war jetzt aber eine schwere Geburt. Super, ich freue mich richtig, dass ich das richtige Ergebnis gefunden habe. Dabei rechne ich viel lieber mit Zahlen, als mit Variablen... . Vielen, vielen Dank, dass du dir so viel Zeit genommen hast.
Noch ein schönes Wochenende. Liebe Grüße, Schweinski ;-) |
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| 26.02.2011, 15:51 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar
Geht mir genau andersrum. 
Auch so.
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| 04.02.2012, 19:44 | wangxta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey Leute, ich hab da eine Frage zu dieser Aufgabe. Wie komme ich auf den Schnittpunkt von der Funktion (tx²-4)/x² ? Ihr habt ja geschrieben das sie 2/Wurzel (t) ist. Ich setze die Funktion=0, weiß aber dann wegen dem t nicht wie ich weiter rechnen soll. lg der neue, wangxta |
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| 05.02.2012, 02:54 | wangxta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hat sich erledigt. ^^.... Habs gelöst |
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