Fourierreihe, Problem mein integrieren

26.02.2011, 13:06

123ert

Fourierreihe, Problem mein integrieren

Hallo,

habe hier die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x(2\pi-x) \end{eqnarray*}$

und ich bin nu dabei die koeffizienten zu bestimmen, a0 war kein Problem und der Blick in die Lösung bestätigte mir auch das dieser richtig ist.

Bei den Koeffizienten "an", krieg ich das mit dem integrieren nicht hin. Die Formel ist ja:

$\begin{eqnarray*} an = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x) * cos(nx) dx \end{eqnarray*}$

Ich hab das jetzt mit Produktintegration probiert:

$\begin{eqnarray*} u=2x\pi-x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=2\pi-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=cos(nx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=\frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

dann nach $\begin{eqnarray*} f(x) dx= u(x)*v(x)-u'(x)*v(x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} an=(2x\pi-x^2)*\frac{sin(nx)}{n} - (2\pi-2x)*\frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} an dx=\frac{sin(nx)}{n}((2x\pi-x^2)- (2\pi-2x)) \end{eqnarray*}$

Ja, bis hier hin und nicht weiter. Keine Ahnung ob das überhaupt teilweise richtig ist oder ich mich schon bei der Wahl der Integrationsmethode verrant hab. Aufjedenfall krieg das nicht hin unglücklich

, Hilfe!

26.02.2011, 13:56

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourierreihe, Problem mein integrieren

Zitat:

Original von 123ert
Hallo,

habe hier die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x(2\pi-x) \end{eqnarray*}$

und ich bin nu dabei die koeffizienten zu bestimmen, a0 war kein Problem und der Blick in die Lösung bestätigte mir auch das dieser richtig ist.

Bei den Koeffizienten "an", krieg ich das mit dem integrieren nicht hin. Die Formel ist ja:

$\begin{eqnarray*} an = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x) * cos(nx) dx \end{eqnarray*}$

Ich hab das jetzt mit Produktintegration probiert:

$\begin{eqnarray*} u=2x\pi-x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=2\pi-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=cos(nx) \end{eqnarray*}$ v und v' gehören vertauscht
$\begin{eqnarray*} v=\frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

dann nach $\begin{eqnarray*} f(x) dx= u(x)*v(x)-u'(x)*v(x) dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} an=(2x\pi-x^2)*\frac{sin(nx)}{n} -\int_a^b \! (2\pi-2x)*\frac{sin(nx)}{n} \, dx \end{eqnarray*}$ du hast hier vergessen nochmals zu integrieren

$\begin{eqnarray*} an dx=\frac{sin(nx)}{n}((2x\pi-x^2)- (2\pi-2x)) \end{eqnarray*}$

Ja, bis hier hin und nicht weiter. Keine Ahnung ob das überhaupt teilweise richtig ist oder ich mich schon bei der Wahl der Integrationsmethode verrant hab. Aufjedenfall krieg das nicht hin unglücklich

, Hilfe!

26.02.2011, 14:43

123ert

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, sorry, ich kann dir nicht folgen bzw. da kommt bei mir nur noch mehr schmarn raus :/

wieso v und v' vertauschen? Ich bin dann an der/einer stammfunktion von cos(nx) interessiert, oder nicht? Ich habs jetzt noch mal nachgelesen, ich meine schon dass v und v' richtig sind?

Wegen dem zweiten integrieren..... das gibt doch dann null? Wenn ich $\begin{eqnarray*} 2\pi-2x \end{eqnarray*}$ integriere, krieg ich doch wieder $\begin{eqnarray*} 2x\pi-x^2 \end{eqnarray*}$

demnach wäre das ganze dann: $\begin{eqnarray*} v(x) *( (2x\pi-x^2) - (2x\pi-x^2)) = 0 \end{eqnarray*}$

26.02.2011, 15:18

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

partielle Integration stimmt schon mal

$\begin{eqnarray*} f(x) dx= u(x)*v(x)-\int_a^b \! u'(x)*v(x) \, dx \end{eqnarray*}$

u hast du richtig bestimmt
v' wär dann
$\begin{eqnarray*} v'=cos(nx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=\frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

den ersten Summanden hast du richtig berechnet
betrachtet nun:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! u'(x)*v(x) \, dx \end{eqnarray*}$

entweder du multiplizierst aus und integrierst nochmal partiell oder du integrierst gleich partiell

26.02.2011, 16:04

123ert

Auf diesen Beitrag antworten »

hm

$\begin{eqnarray*} = (2x\pi-x^2)\frac{sin(nx)}{n} - \int_0^{2\pi}(2\pi-2x)\frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

Die stammfunktion ist: $\begin{eqnarray*} 2x\pi-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(2x\pi-x^2)\frac{sin(nx)}{n} - [2(2\pi)\pi - (2\pi)^2 - 0] * \frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(2x\pi-x^2)\frac{sin(nx)}{n} - 8\pi^2 * \frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{sin(nx)}{n}((2x\pi-x^2)-8\pi^2) \end{eqnarray*}$

Ist aber wieder falsch unglücklich

, im Buch steht, dass der Koeffizient $\begin{eqnarray*} - \frac{4}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist...

26.02.2011, 17:15

123ert

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei den zweiten Summanden mach ich auch wieder alles nur falsch unglücklich

, ich komme da aber nie auf die richtigen Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! u'(x)*v(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} \! (2x\pi-2x) \frac{sin(nx)}{n}dx \end{eqnarray*}$

Ich will mit $\begin{eqnarray*} u= sin(nx) \end{eqnarray*}$ substituieren, $\begin{eqnarray*} u'=cos(nx)*n \end{eqnarray*}$ . Demnach $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=cos(nx)n => \frac{du}{cos(nx)n}=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} \! (2x\pi-2x) \frac{u}{n} \frac{du}{cos(nx)n}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x\pi-2x) \frac{sin(nx)}{cos(nx)n^2} \end{eqnarray*}$

Ich sehe einfach nicht was ich da falsch machen, zumindest führt das Ableiten zu einem ganz anderen Ergebnis.

26.02.2011, 17:34

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

vergiss das Substituieren in dem Fall:

nach dem du bereits einmal richtig partiell integriert hast bleibt nun nur mehr dieses Integral zu lösen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\int_a^b \! (2\pi-2x)sin(nx) \, dx = \frac{1}{n}\int_a^b \! (2\pi sin(nx) -2xsin(nx)) \, dx \end{eqnarray*}$

der erste Summand kann gleich integriert werden beim 2ten einmal partiell integrieren

26.02.2011, 18:25

123ert

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kawarider90
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\int_a^b \! (2\pi-2x)sin(nx) \, dx = \frac{1}{n}\int_a^b \! (2\pi sin(nx) -2xsin(nx)) \, dx \end{eqnarray*}$

der erste Summand kann gleich integriert werden beim 2ten einmal partiell integrieren

Ich bin grade in diese Integrieren-Sache neu am reinarbeiten, ist schon lange her, ich bin nicht sicher ob ich dich immer richtig verstehe :o..... meinst du das so?

Beim ersten direkt integrieren, mit -cos(nx)/n, beim zweiten mit partieller integration, so?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \int_{b}^{a}\frac{-2\pi \! cos(nx)}{n} - 2x \! sin(nx) \frac{du}{-cos(nx)n} \end{eqnarray*}$

26.02.2011, 20:03

123ert

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourierreihe, Problem mein integrieren
ich hab nochmal mein glück probiert....

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} \int_a^{b} \! x(2\pi-x)cos(nx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} \int_a^{b} \! (2x\pi-x^2) cos(nx) \end{eqnarray*}$

produktintegration u=

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} \int_a^{b} \! x(2\pi-x)cos(nx) \end{eqnarray*}$

nach produktformel:
$\begin{eqnarray*} u=2x\pi-x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=2\pi-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=cos(nx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=\frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} ((2x\pi-x^2)\frac{sin(nx)}{n} - \int_a^b(2\pi-2x)\frac{sin(nx)}{n})) \end{eqnarray*}$

hinteren teil ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} ((2x\pi-x^2)\frac{sin(nx)}{n} - \frac{1}{n}\int_a^b(2\pi \! sin(nx)-2x \! sin(nx))) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} ((2x\pi-x^2)\frac{sin(nx)}{n} - \frac{1}{n}(\frac{-2\pi \! cos(nx)}{n})-2\int_a^b \! x \! sin(nx)) \end{eqnarray*}$

nach produktformel:
$\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=sin(nx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=\frac{-cos(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} ((2x\pi-x^2)\frac{sin(nx)}{n} - \frac{1}{n}(\frac{-2\pi \! cos(nx)}{n})-2 ( x\frac{-cos(nx)}{n} - 1\frac{\int^a_b \! -cos(nx)}{n})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} ((2x\pi-x^2)\frac{sin(nx)}{n} - \frac{1}{n}(\frac{-2\pi \! cos(nx)}{n})-2 ( x\frac{-cos(nx)}{n} - 1\frac{-sin(nx)}{n^2})) \end{eqnarray*}$

Meine Rechnungen werden immer wilder, aber irgendwie trete ich total auf der Stelle unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

Fourierreihe, Problem mein integrieren

Verwandte Themen