inhomogene Diff.gleichung

26.02.2011, 16:37

Gast11022013

inhomogene Diff.gleichung

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta : \mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen mit $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \beta(t)=0, \sup_{t\in \mathbb R} \alpha(t)<0 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie: Jede Lösung $\begin{eqnarray*} y:[0,\infty )\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y'=\alpha(t)y+\beta(t) \end{eqnarray*}$ hat die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} y(t)=0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also meine Idee ist folgende:

Es handelt sich bei der gegebenen Differentialgleichung meiner Meinung nach um eine inhomogene Diffenretialgleichung. Die allgemeine Lösung für eine inhomogene Differentialgleichung ist meines Wissens:

$\begin{eqnarray*} y=(\int_?^t \! \beta(s)\cdot e^{-A(s)} \, ds +c)\cdot e^{A(t)}, A(t):= \int_?^t \! \alpha(s) \, ds \end{eqnarray*}$

(Bei den unteren Integralgrenzen habe ich Fragezeichen geschrieben, weil ich nicht weiß, was da stehen muss.)

Und wenn man jetzt

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{t \to \infty}(\int_?^t \! \beta(s)\cdot e^{-A(s)} \, ds +c)\cdot e^{A(t)}, A(t):= \int_?^t \! \alpha(s) \, ds \end{eqnarray*}$

...müsste man bestimmt irgendwie auf die Lösung kommen, aber ich sehs leider nicht.

Kann mir jemand bitte helfen?

Edit:
Noch ein Gedanke, wenn auch bestimmt mit den Notationen nicht so gut formuliert:
Wenn der t-Wert, den man bei y einsetzt gegen unendlich geht, so geht doch $\begin{eqnarray*} \beta(s) \end{eqnarray*}$ gegen 0, weswegen der erste Summand in der Klammer schonmal wegfällt und $\begin{eqnarray*} A(t) \end{eqnarray*}$ geht gegen minus unendlich, weswegen $\begin{eqnarray*} e^{A(t)} \end{eqnarray*}$ doch gegen 0 geht. Also kommt insgesamt 0 raus? verwirrt

26.02.2011, 17:11

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:

Wenn der t-Wert, den man bei y einsetzt gegen unendlich geht, so geht doch $\begin{eqnarray*} \beta(s) \end{eqnarray*}$ gegen 0, weswegen der erste Summand in der Klammer schonmal wegfällt

Das solltest du dir nochmal überlegen. In die Richtung gehts aber.

Hier mein Vorschlag:

Zeige die beiden Fakten:

$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t \beta(s) \cdot e^{-A(s)} \, ds +C \end{eqnarray*}$

ist beschränkt auf ganz $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ . Sowie

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{A(t)} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Folgere daraus die Aussage. Du brauchst dafür im wesentlichen bloss die elementaren Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b \left|f(x) \right| \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \le f \; \Rightarrow \; \int_a^b g(x) \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

von Integralen.

26.02.2011, 18:08

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: inhomogene Diff.gleichung
Ich habe damit Probleme, das zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}\int_{t_0}^t \! \alpha(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup_{t \in \mathbb R}\alpha(t)<0 \end{eqnarray*}$

Ich habe keine Ahnung, wie daraus folgt, dass das Integral gegen minus unendlich strebt. Das muss es ja, damit $\begin{eqnarray*} e^{A(t)} \end{eqnarray*}$ gegen Null strebt.

Bei dem zweiten Fakt bin ich noch mehr überfordert.

... Ich hasse Analysis.

26.02.2011, 19:04

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

... wie ist denn das Supremum nochmal definiert? Benutze dann:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g \le f \; \Rightarrow \; \int_a^b g(x) \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Tipp: Für konstante Funktionen ist das Integral besonders einfach auszurechnen.

26.02.2011, 19:19

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t \! \alpha(x) \, dx \leq \int_{t_0}^t \! \sup\alpha(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ?

26.02.2011, 19:58

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: inhomogene Diff.gleichung
Ah, ich ärgere mich über mich selbst. Es kann doch nicht so schwer sein zu zeigen, dass dieser Ausdruck gegen 0 konvergiert für t gegen unendlich.

böse

26.02.2011, 20:08

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist doch schon praktisch am Ziel mit

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t \! \alpha(x) \, dx \leq \int_{t_0}^t \! \sup\alpha(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Das Supremum ist eine Konstante, also kann man das rechte Integral ausrechnen (siehe auch meinen Tipp oben).

26.02.2011, 20:16

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Supremum müsste hier ja eine negative Konstante -c sein, wegen $\begin{eqnarray*} \sup_{t\in \mathbb R}\alpha(t)<0 \end{eqnarray*}$ . Demnach ist das Integral auf der rechten Seite der Ungleichung $\begin{eqnarray*} [-c\cdot s]_{t_0}^{t}=(t_0-t)\cdot c \end{eqnarray*}$ .

Und dieser Ausdruck müsste ja gegen minus unendlich gehen für t gegen unendlich.

Jetzt zu dem anderen Fakt. Vermutlich meinst Du es so oder ähnlich: Ich muss ja noch irgendwo verwenden, dass beta gegen 0 geht.

$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t \! \beta(x)\cdot e^{-\int_{t_0}^t \! \alpha(x) \, dx} \, dx +c \leq \int_{t_0}^t \! |\beta(x)\cdot e^{-\int_{t_0}^t \! \alpha(x) \, dx}| \, dx +c \leq \int_{t_0}^t \! |\beta(x)\cdot \underbrace{e^{-\int_{t_0}^t \! \sup \alpha(x) \, dx}}_{\to \infty}| \, dx +c \end{eqnarray*}$ , jedoch ist ja, wenn ich es richtig verstehe $\begin{eqnarray*} \beta(x) \end{eqnarray*}$ auch eine Konstante... und ich weiß nicht genau, wie - aber das geht gegen 0, sodass am Ende nur die Konstante C übrig bleibt.

Zusammen mit der Konstante C und dem Obigen über A(t) müsste dann die Behauptung folgen.

26.02.2011, 21:42

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: inhomogene Diff.gleichung
Kann bitte jemand einen Blick auf die Frage und meinen letzten Beitrag werfen?

Ich habe versucht es jetzt abzuschätzen.

26.02.2011, 22:36

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd
Hier mein Vorschlag:

Zeige die beiden Fakten:

$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t \beta(s) \cdot e^{-A(s)} \, ds +C \end{eqnarray*}$

ist beschränkt auf ganz $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ . Sowie

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{A(t)} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Folgere daraus die Aussage. Du brauchst dafür im wesentlichen bloss die elementaren Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b \left|f(x) \right| \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \le f \; \Rightarrow \; \int_a^b g(x) \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

von Integralen.

Ich glaub, ich sollte mich daran besser halten, ansonsten kommt nur Blödsinn dabei raus.

Also das mit dem Zeigen, dass das Integral + c beschränkt ist, wie macht man das?

26.02.2011, 22:53

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, der erste Teil ist richtig. Beim zweiten hab' ich mich vertan!

Dann muss man da dann doch ein bisschen eine feinere Abschätzung vornehmen. (muss jetzt hier ein bisschen "freestylen", da ich die Lösung auch nicht gerade klar vor mir sehe, aber zusammen finden wir sie bestimmt Augenzwinkern

)

Also: Wir wissen ja jetzt, dass $\begin{eqnarray*} e^{A(t)} \to 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Nun müssen wir uns noch um den ersten Summanden kümmern. Dazu brauchen wir allerdings doch das hinzumultiplizierte $\begin{eqnarray*} e^{A(t)} \end{eqnarray*}$ .

Wir schreiben also um:

$\begin{eqnarray*} \int_{\tau}^t \! \beta(s)\cdot e^{-A(s)} \, ds \cdot e^{A(t)} = \int_{\tau}^t \! \beta(s)\cdot e^{A(t)-A(s)} \, ds = \int_{\tau}^t \! \beta(s)\cdot \exp\left({\int_s^t \alpha(r) \, dr }\right) \, ds \end{eqnarray*}$

Versuch jetzt mal das Integral rechts abzuschätzen.

Die Idee wäre schlussendlich damit deinen Ausdruck für y(t) als Summe

$\begin{eqnarray*} y(t) = const \cdot \underbrace{e^{A(t)}}_{\to 0} + \underbrace{\int_{\tau}^t \! \beta(s)\cdot e^{(A(t)-A(s))} \, ds}_{\le \epsilon \; \forall \, t} \end{eqnarray*}$

aufteilen zu können (deshalb hab ich auch mal ein Tau eingeführt als untere Grenze - damit können wir das nach rechts schieben, soweit wir wollen). smile

26.02.2011, 22:56

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Und das ist die Lösung?

Also da muss ich jetzt erstmal abbrechen hier, es qualmt nur so..

:-) Vielleicht versteh ichs morgen in neuer Frische.

Danke.

26.02.2011, 23:35

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd
$\begin{eqnarray*} \int_{\tau}^t \! \beta(s)\cdot e^{-A(s)} \, ds \cdot e^{A(t)} = \int_{\tau}^t \! \beta(s)\cdot e^{A(t)-A(s)} \, ds = \int_{\tau}^t \! \beta(s)\cdot \exp\left({\int_s^t \alpha(r) \, dr }\right) \, ds \end{eqnarray*}$

Versuch jetzt mal das Integral rechts abzuschätzen.

Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie ich das abschätzen kann. Leider.

27.02.2011, 00:03

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie ich das abschätzen kann. Leider.

Ich widerstehe mal dem Drang, einfach die Lösung hinzuschreiben...
Wenn du's nicht weiss, dann musst du wohl mal ein bisschen damit herumspielen.

Tipp: Nimm nochmal einen Schritt zurück und überleg dir was gegeben ist. Ich vereinfache es dir sogar noch ein bisschen mehr: Nimm für's erste an, beta sei konstant.

Neue Frage »

Antworten »

inhomogene Diff.gleichung

Verwandte Themen