=b in N

26.02.2011, 16:41

bauhaushali

ggT (a,b) >= 1 für a>=b in N

Meine Frage:
Zeigen Sie dass $\begin{eqnarray*} ggT(a,b)\geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ gilt

Meine Ideen:
Jede natürliche Zahl lässt sich in der Form n=1*x darstellen. Damit ist der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen immer mindestens 1.

Klingt zu trivial, übersehe ich hier was?

26.02.2011, 16:46

abc2011

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RE: ggT (a,b) >= 1 für a>=b in N
Mit der Definition «Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, durch die sowohl a als auch b ohne Rest teilbar sind.» ist tatsächlich trivial, dass der ggT als natürliche Zahl mindestens 1 ist.

26.02.2011, 16:50

bauhaushali

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Ich vermute das sollte ursprünglich weniger trivial zu lösen sein, bis jemandem ein Fehler in der Aufgabenstellung unterlaufen ist.... mich soll es nicht stören ! Tanzen

26.02.2011, 20:16

Mystic

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Naja, es ist ja wohl ggT(0,0)=0<1... Lehrer

Allerdings muss man hier höllisch aufpassen, da in der älteren Literatur (und selten, aber doch auch in der neueren!) die natürlichen Zahlen oft mit 1 statt mit 0 beginnen, womit dieses Gegenbeispiel dann natürlich nicht mehr gilt...

26.02.2011, 20:51

abc2011

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Es mag ja sein, dass gelegentlich 0 als «natürliche Zahl» angesehen wird und es mag ja sein, dass der ggT gelegentlich auch für 0 definiert wird, nur kann diese Definition dann nicht wie oben (Wikipedia) lauten: Diese erfasst den Fall ggT(0,0) ausdrücklich nicht.

26.02.2011, 21:55

Mystic

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@abc2011

Ich sag dir sehr wahrscheinlich nichts Neues, wenn ich hier auf die übliche Definition des ggT(a,b) von zwei Elementen $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ , wobei R ein Integritätsring ist, hinweise, welcher definiert wird als ein Element $\begin{eqnarray*} d \in R \end{eqnarray*}$ mit den beiden Eigenschaften:

1. $\begin{eqnarray*} d|a \land d|b \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \forall t \in R: t|a \land t|b \Rightarrow t|d \end{eqnarray*}$

Nach dieser Definition ist der ggT(a,b) bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt und es gilt insbesondere ggT(0,0)=0...

Welcher Teufel den Verfasser des von dir zitierten Wikipedia-Artikel "geritten" hat, ohne Not außer der Teilbarkeitsrelation | auch noch die Relation $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ ins Spiel zu bringen, und den ggT(a,b) wörtlich als den größten gemeinsamen Teiler von a und b zu definieren, wonach dann tatsächlich der ggT(0,0) undefiniert ist, kann ich jetzt nur erahnen... Die möglicherweise angestrebte Eindeutigkeit hätte er jedenfalls auch erreichen können, indem er denn ggT für den Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ der ganzen Zahlen zusätzlich als nichtnegativ voraussetzt, d.h., sich auf das kanonische Repräsentantensystem $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ für die Assoziiertheitsrelation stützt... Das ist somit für sich allein genommen kein ausreichender Grund...

Jedenfalls ist für mich dieser Artikel wieder ein klarer Beweis dafür, dass man nicht ungeprüft alles aus dem Internet übernehmen kann, auch nicht aus der Wikipedia, obwohl ich in letzterem Falle gerne zugebe, dass im großen Maßstab die hier gebotene Information durchaus verläßlich ist und Abweichungen wie oben jetzt sicher die Ausnahme sind...

26.02.2011, 22:23

abc2011

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@Mystic
Immerhin heisst es im Artikel «für die algebraische Definition gelten abweichende Eigenschaften».

26.02.2011, 22:36

Mystic

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Zitat:

Original von abc2011
@Mystic
Immerhin heisst es im Artikel «für die algebraische Definition gelten abweichende Eigenschaften».

Ja, diese Passage hat mich auch sehr verblüfft... Sie zeigt ja, dass der Verfasser sich einer gewissen "Diskrepanz" zur allgemeineren algebraischen Definition durchaus bewußt war, aber sie andererseits in Kauf genommen hat... Es ist gerade die Frage nach dem warum, die ich für mich nicht wirklich schlüssig beantworten konnte... Definitionen sollen ja bei einer Übertragung auf allgemeinere Strukturen zumindestens "aufwärtskompatibel" sein...

26.02.2011, 22:37

Hubert1965

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RE: ggT (a,b) >= 1 für a>=b in N
Bekanntlich ist jede natürliche Zahl ein Teiler von 0:
$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb N_0: \frac{0}{x}=0 \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass der größte gemeinsame Teiler von 0 und n immer gleich n ist, vorausgesetzt n ist größer als 0:
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N: n>0 \Rightarrow ggT(0,n)=n \end{eqnarray*}$

Das gilt aber nicht, wenn n gleich 0 ist, denn dann sind in $\begin{eqnarray*} ggT(a,b) \end{eqnarray*}$ sowohl a als auch b durch jede beliebig große Zahl teilbar. $\begin{eqnarray*} ggT(0,0) \end{eqnarray*}$ ist also nicht definiert.

Folglich ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} ggT(a,b) \end{eqnarray*}$ entweder undefiniert oder größer oder gleich 1.

26.02.2011, 22:48

abc2011

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RE: ggT (a,b) >= 1 für a>=b in N
Ein gewisses Verständnis bringe ich auf, wenn Wikipedia nicht jeden Begriff immer nur auf die allgemeinste abstrakte Struktur bezogen definiert, sondern, wie in diesem Fall sich auf die Entstehungsgeschichte beruft, den Begriff noch wörtlich nimmt, und an einen Gebrauch «für die Schule» denkt.

26.02.2011, 23:09

Mystic

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RE: ggT (a,b) >= 1 für a>=b in N

Zitat:

Original von abc2011
Ein gewisses Verständnis bringe ich auf, wenn Wikipedia nicht jeden Begriff immer nur auf die allgemeinste abstrakte Struktur bezogen definiert, sondern, wie in diesem Fall sich auf die Entstehungsgeschichte beruft, den Begriff noch wörtlich nimmt, und an einen Gebrauch «für die Schule» denkt.

Naja, da muss man sich glaube ich schon vor Augen halten, dass die Wikipedia-Artikel jetzt nicht ein Gremium von Fachexperten schreibt, welche ein durchgängiges Konzept vor Augen haben, sonder im wahrsten Sinne des Wortes Menschen "wie du und ich"... Dementsprechend gibt es da auch keine einheitliche Linie...Hätte ich z.B. diesen Artikel geschrieben, so wäre das Resultat jetzt nicht unbedingt besser geworden, es hätte aber ganz anders ausgesehen...

@Hubert1965

Ja, es ist schon klar, wenn man den ggT(a,b) wortwörtlich als die größte Zahl in der Menge der gemeinsamen Teiler von a und b definiert, so wie das offenbar auch in obigem Wikipedia-Artikel geschieht, dann kann man die Richtigkeit der Aussage im Eingangsposting in etwa so begründen... Wie gesagt, wenn...

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