einfaches Regressionsmodell mit Geraden |
| 26.02.2011, 17:01 | student8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| einfaches Regressionsmodell mit Geraden Hi, ich habe ne Frage zum Thema Ökonometrie, ich wusste nicht wo ich diese Frage sonst reinstellen sollte, hoffe dass mir trotzdem jemand weiterhelfen kann: Wenn ich eine Regressionsgerade schätze anhand einer repräsentativen Stichprobe, aus welchem Grund liegt dann immer auch der Punkt (y-quer/x-quer) auf die geschätzten Geraden. x-quer und y-quer sind dabei jeweils die arithmetischen Mittel für die Daten der Grundgesamtheit? Meine Ideen: yi = Beobachtetes Merkmal aus der Grund gesamtheit ^yi = geschätzter Wert durch Stichprobendaten ûi= abweichung zwischen yi und ^yi also yi= ^yi+ûi wenn ich jetzt für beide seiten das arithmetische mittel bestimme und ich annehme dass das arithmetische mittel für ûi= o ist dann gilt y-quer = ^y-quer mathematisch kann ich es mir also begründen aber wenn ich es mir bildlich vorstelle komme ich nicht klar,,,,ich meine die geschätzte Gerade kann doch von der Geraden der Population abweichen ?? |
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| 26.02.2011, 17:57 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stelle dir eine große Platte (z.B. eine Tischplatte) vor, die groß genug ist, um darauf dein Koordinatensystem darzustellen. Für jeden deiner Punkte mit den Koordinaten legst du nun einen Stein an der entsprechenden Stelle auf diese Platte. Alle Steine müssen dabei genau gleich schwer sein, und die Platte selbst sollte möglichst gewichtslos sein (in der Praxis nicht machbar, aber in unserem Gedankenexperiment durchaus möglich) Und nun stelle dir vor, dass diese Platte nicht plan auf dem Boden aufliegt, sondern auf der schmalen Seite einer dünnen langen Latte liegt. Die Platte ballanciert also auf einer dünnen geraden Linie. Es gibt viele Möglichkeiten, wie diese Linie unter der Platte verlaufen kann. Eine Möglichkeit ist, sie parallel zur Y-Achse anzuordnen. Dann müssen die Steine links von der Linie die Steine rechts davon genau aufwiegen, wobei natürlich die Abstände von der Linie mitzurechnen sind (Ein Stein weiter weg drückt wegen der größeren Hebelwerkung stärker nach unten als einer, der fast schon auf der Linie liegt). Ein paar einfache Überlegungen zeigen, dass diese Linie durch alle Punkte mit den x-Koordinaten gehen muss. Wenn wir die Linie parallel zur X-Achse verlaufen lassen, werden wir feststellen, dass sie durch alle Punkte mit den y-Koordinaten gehen muss. Also liegt der Punkt als einziger auf beiden Linien. Daher hat dieser Punkt auch einen besonderen Namen. Er heißt "Schwerpunkt", und jede Linie, die unsere Platte mit den Steinen im Gleichgewicht hält, muss durch diesen einen Punkt laufen. Bleibt nur zu klären, ob eine Regressionsgerade auch zu jenen Linien gehören muss, die die Platte in der Waage halten. Wenn es nicht so wäre, würden die Steine auf der einen Seite der Linie (nehmen wir an, das wäre die rechts) im Mittel weiter weg von der Linie sein als die Steine auf der anderen (linken) Seite. Nun schieben wir die Linie ein winziges Stück nach rechts: Die großen Abstände auf der rechten Seite werden um einen fixen Betrag kleiner. Die Quadrate dieser Abstände schrumpfen aber nicht um einen fixen Betrag, sondern proportional zum ursprünglichen Abstand. Auf der linken Seite werden die Abstände größer, und die Quadrate wachsen ebenfalls proportional zu den ursprünglichen Abständen. Da diese Abständer aber kleiner waren als rechts, ist ihr Anstieg in Summe geringer als die Summe aller Abnahmen auf der rechten Seite. Die Summe über alle Quadrate wird durch dieses Verschieben also kleiner! Und die Ausgleichsgerade ist ja genau jene Linie, für die diese Summe ein Minimum ist. Da wir aber die Quadrate-Summe verringern konnten, war die ursprüngliche Linie nicht die gesuchte Ausgleichsgerade. Erst wenn die Gerade identisch mit einer der Gleichgewichts-Linien ist, kann man durch Verschieben keine Verbesserung mehr erziehlen, sondern nur noch durch Drehen der Geraden. Da aber alle Gleichgewichts-Linien durch den Schwerpunkt gehen müssen, kann dieser Drehpunkt nur mit dem Schwerpunkt identisch sein. Etwas anderes ist nicht möglich. Fazit: Der Punkt ist der Schwerpunkt aller Stützpunkte, und die Regressionsgerade muss genau durch diesen Schwerpunkt laufen. |
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