Normalisator von p-Sylowgruppe

26.02.2011, 17:11

arctan

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Normalisator von p-Sylowgruppe

Meine Frage:
G endl. Gruppe, $\begin{eqnarray*} P \leq N \leq G \end{eqnarray*}$ mit N Normalteiler, P p-Sylowgruppe von N.
Zu zeigen wäre: $\begin{eqnarray*} G = N_G(P)N \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} N_G(P) := \left\{ g \in G \mid gPg^{-1} = P \right\} \end{eqnarray*}$ der Normalisator in G.

Meine Ideen:
Ich habe versucht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g \in G \setminus N \implies g \in N_G(P) \end{eqnarray*}$ , wovon ich aber nicht glaube, dass es mgl. ist.
Ich benutze vor allem nicht die Eigenschaft, dass P p-Sylowgruppe ist, was ich wohl tun muss.

Bin für jede Hilfe dankbar.

26.02.2011, 17:39

C3P0

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Hallo,
ich würde so vorgehen:
Nimm dir ein $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ beliebig her. Dann liegt $\begin{eqnarray*} P^g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} N^g=N \end{eqnarray*}$ , da N Normalteiler ist. Nun ist $\begin{eqnarray*} P^g \end{eqnarray*}$ auch eine Sylow-p-UG von N. Was weißt du nun über verschiedene Sylow-p-UG von N?

Grüße

26.02.2011, 17:47

Gast11022013

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Mal eine Zwischenfrage: Was meinst du mit dieser Schreibweise $\begin{eqnarray*} P^g ,N^g \end{eqnarray*}$ ?

26.02.2011, 18:07

C3P0

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Für Elemente $\begin{eqnarray*} g,h \in G \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h^g = g^{-1}hg \end{eqnarray*}$ . Entsprechend ist für Untergruppen $\begin{eqnarray*} U \leq G \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} U^g = g^{-1}Ug=\{g^{-1}ug: u\in U\} \end{eqnarray*}$ .

26.02.2011, 18:09

Gast11022013

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Danke, diese Schreibweise kannte ich dafür nicht. Die Aufgabe ist damit aber klar.

26.02.2011, 18:18

arctan

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Danke für die schnelle Antwort.

Zitat:

Original von C3P0
Was weißt du nun über verschiedene Sylow-p-UG von N?

Also wie du schon sagst sind die alle Konjugiert ( $\begin{eqnarray*} P^g \subseteq N^g=N \end{eqnarray*}$ ),
ich weiß leider nicht speziell was es bedeutet eine Sylowgruppe eines Normalteilers zu haben. Normalteiler sind Vereinigung von Konjugationsklassen, das steht aber auch schon in dem $\begin{eqnarray*} P^g \subseteq N \end{eqnarray*}$ .
Ich kann jetzt ein paar Eigenschaften noch aufzählen, P hat nichttriviales Zentrum etc. aber sehe eig. bei keinem eine Annäherung an die Aussage, sorry.

Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben, oder ist es offensichtlich??

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26.02.2011, 18:39

C3P0

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Zitat:

Original von arctan
ich weiß leider nicht speziell was es bedeutet eine Sylowgruppe eines Normalteilers zu haben.

Vergiss einfach mal kurz, dass N in einer größeren Gruppe G liegt. Dann hast du einfach eine Gruppe N, und die hat eine Sylowgruppe P.

Jetzt haben wir für ein Element g in unserer größeren Gruppe G eine neue Sylowgruppe von N konstruiert. Vergiss jetzt wieder die größere Gruppe G. Was weißt du nun über die beiden Sylow-Gruppen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P^g \end{eqnarray*}$ von N?
Das richtige Stichwort ist bei dir auch schon gefallen.

26.02.2011, 18:43

Gast11022013

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Woher weiß man eigentlich, dass $\begin{eqnarray*} P^g \end{eqnarray*}$ auch Sylowgruppe von N ist?

26.02.2011, 18:46

C3P0

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Für jedes $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ kann man eine Abbildung $\begin{eqnarray*} i_g:G\rightarrow G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i_g(h)=h^g \end{eqnarray*}$ definieren. Überlege dir mal, welche schöne Eigenschaft diese Abbildung hat.

26.02.2011, 18:48

Gast11022013

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Ja, ich weiß, dass das die Konjugationsabbildung bzw. innerer Automorphismus ist.

Und für einen Homomorphismus gilt ja, dass das Bild einer Untergruppe auch wieder Untergruppe ist. Gilt sogar, dass das Bild einer p-Sylowgruppe wieder p-Sylowgruppe ist?

26.02.2011, 18:53

C3P0

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Wie du schon sagtest, ist das nicht nur ein Homomorphismus, sondern ein Automorphismus, also hat $\begin{eqnarray*} P^g \end{eqnarray*}$ dieselbe Ordnung wie $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .
Für einen beliebigen Homomorphismus gilt das aber nicht. Nimm z.B. den Homomorphismus, der alles auf 1 abbildet, der bildet Sylowuntergruppen sicherlich nicht wieder auf Sylowuntergruppen ab.

26.02.2011, 18:56

Gast11022013

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Ich tu mich schwer damit... okay, es hat also die gleiche Ordnung. Ist also auch eine p-Gruppe. Aber auch eine maximale?

Mit anderen Worten, ich sehs nicht auf den ersten Blick, warum das wieder eine p-Sylowgruppe ist. Merken kann ichs mir ja aber.

Okay, jetzt hat man also zwei p-Sylowgruppen. Diese sind zueinander konjugiert.

Wie kommt jetzt der Normalisator ins Spiel?

26.02.2011, 19:07

arctan

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Zitat:

Original von C3P0
Was weißt du nun über die beiden Sylow-Gruppen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P^g \end{eqnarray*}$ von N?

Beide Gruppen haben die selbe Ordnung (was witzlos ist).
Mir fallen hier keine Eigenschaften ein.
Was haben zwei p-Sylowgruppen gemein, ausser dass sie konjugiert sind?
Wenn ich genug g's nehme, bekomme ich meine Konjugationsklasse und damit einen Normalteiler in N oder?
Aber ich will ja sowieso, dass mein N_G später größer wird als N, anders geht es ja nicht.
Bin wirklich ratlos..!!

Was mir grad auffällt ist:
Angenommen $\begin{eqnarray*} P^g = P \implies g \in N_G(P) \end{eqnarray*}$ .
Bliebe also nur der Fall zu klären, dass g wirklich auf eine konjugierte Gruppe abbildet.

Aber das hast du sicher nicht gemeint.

26.02.2011, 19:16

C3P0

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@ dennis:

Zitat:

Aber auch eine maximale?

Es gibt zwei Möglichkeiten, das zu sehen:
Wäre $\begin{eqnarray*} P^g \end{eqnarray*}$ keine maximale p-UG, dann gäbe es eine p-UG S von N mit $\begin{eqnarray*} P^g \subset S \end{eqnarray*}$ . Dann wäre aber auch $\begin{eqnarray*} P \subset (i_g)^{-1}(S) \end{eqnarray*}$ , also schon P nicht maximal, ein Widerspruch.

Alternativ weißt du einfach, welche Ordnung Sylowgruppen immer haben. Ist $\begin{eqnarray*} |N|=p^n \cdot m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \nmid m \end{eqnarray*}$ , dann hat jede p-Sylowgruppe die Ordnung $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ und umgekehrt ist jede UG der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ eine Sylow-UG.

@arctan:
Nun, du hast es doch schon gesagt. Zwei Sylowgruppen von N sind konjugiert. Und zwar in N. Das hilft weiter.

26.02.2011, 19:24

Gast11022013

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Danke für die Erklärung. Stimmt ja, der erste Sylowsatz sagt das ja und man kann zeigen, dass jede dieser Untergruppen einer p-Sylowgruppe ist.

Aber zurück zur Aufgabe.

Anscheinend ist es echt wichtig, dass die beiden p-Sylowgruppen konjugiert in N sind. Was bedeutet denn das. Das bedeutet doch dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} nPn^{-1}=gPg^{-1} \end{eqnarray*}$ oder nicht.

Man, echt ne schwere Aufgabe, sehs auch grad nicht mehr, wie man damit jetzt die Aufgabe weiter lösen kann.

26.02.2011, 19:45

C3P0

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Zitat:

Original von Dennis2010
Das bedeutet doch dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} nPn^{-1}=gPg^{-1} \end{eqnarray*}$ oder nicht.

Richtig! Genau das bedeutet es. Das musst du jetzt nur noch geschickt umformen, um den Normalisator ins Spiel zu bringen.

26.02.2011, 19:54

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} g^{-1}nPn^{-1}g=P \end{eqnarray*}$ ?

Und nun? Big Laugh

Big Laugh

26.02.2011, 20:00

C3P0

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Auch richtig. Überlege dir doch mal, was da jetzt genau steht. Aber vielleicht sollten wir arctan auch mal kurz die Gelegenheit geben, über die Aufgabe nachzudenken.

26.02.2011, 20:05

Gast11022013

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Steht da, dass P ein Normalteiler von G ist?

26.02.2011, 20:11

C3P0

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Dann müsste ja $\begin{eqnarray*} xPx^{-1}=P \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$ sein. Das kannst du aber daraus nicht folgern.

26.02.2011, 20:12

arctan

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Zitat:

Original von C3P0
Aber vielleicht sollten wir arctan auch mal kurz die Gelegenheit geben, über die Aufgabe nachzudenken.

Würde ich gerne, allerdings lerne ich grade für die Algebra Klausur und bin da zufällig auf die Aufgabe gestoßen.
Bevor ich mich Stunden damit beschäftige, würde ich lieber in die Breite lernen ;-) .
Sorry, aber dachte die Aufgabe wäre einfacher.

26.02.2011, 20:20

Gast11022013

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Stimmt, das kann man in der Tat nicht daraus schließen...

Was könnte man denn da noch sehen...

Komme jetzt nicht darauf.

unglücklich

unglücklich

26.02.2011, 20:23

Gast11022013

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Achso, vielleicht, dass $\begin{eqnarray*} nPn^{-1} \end{eqnarray*}$ konjugiert ist zu P.

26.02.2011, 20:23

arctan

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Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} g^{-1}nPn^{-1}g=P \end{eqnarray*}$ ?

Ok. konnte die Finger doch nicht von lassen:

$\begin{eqnarray*} g^{-1}nPn^{-1}g=P \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h := g^{-1}n \implies hPh^{-1} = P \end{eqnarray*}$ , also P Normalteiler in GN

$\begin{eqnarray*} GN \subseteq N_G(P) \end{eqnarray*}$

fertig?

Ich meine dann bringe ich N auf die andere Seite via N ist Gruppe hat Inverse also kann ich es einfach auf die andere Seite schreiben?

26.02.2011, 20:34

Gast11022013

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Die kommt mir komisch vor die Lösung.

26.02.2011, 20:35

C3P0

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RE: Normalisator von p-Sylowgruppe

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g^{-1}nPn^{-1}g=P \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} h := g^{-1}n \implies hPh^{-1} = P \end{eqnarray*}$ , also P Normalteiler in GN

Es wäre ja GN=G, aber das P Normalteiler von G ist, können wir so nicht beweisen (weil es im Allgemeinen falsch ist).
Aber aus $\begin{eqnarray*} hPh^{-1} = P \end{eqnarray*}$ folgt doch $\begin{eqnarray*} h \in N_G(P) \end{eqnarray*}$ , das ist die Definition des Normalisators. Also haben wir jetzt $\begin{eqnarray*} g^{-1}n \in N_G(P) \end{eqnarray*}$ .

Ich fasse also nochmal zusammen:
Wir haben mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ gestartet und erhalten nun, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g^{-1}n\in N_G(P) \end{eqnarray*}$ .
Das sieht doch schonmal gut aus. Jetzt fehlt nur noch der letzte Schritt.

26.02.2011, 20:39

arctan

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RE: Normalisator von p-Sylowgruppe

Zitat:

Original von C3P0
Wir haben mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ gestartet und erhalten nun, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g^{-1}n\in N_G(P) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} g^{-1}n = m \in N_G(P) \iff n m^{-1} = g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n m^{-1} \in N N_G(P) \end{eqnarray*}$

26.02.2011, 20:43

C3P0

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RE: Normalisator von p-Sylowgruppe
@arctan:
Mir fällt gerade auf, dass du in deinem Eingangspost folgendes schreibst:

Zitat:

Original von arctan
Ich habe versucht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g \in G \setminus N \implies g \in N_G(P) \end{eqnarray*}$ , wovon ich aber nicht glaube, dass es mgl. ist.

Das ist tatsächlich nicht möglich. Das Produkt von zwei Untergruppen A und B enthält im Allgemeinen Elemente, die weder in A noch in B enthalten sind. Ich darf schonmal verraten, dass die Behauptung $\begin{eqnarray*} G=NN_G(P) \end{eqnarray*}$ tatsächlich richtig ist. Es kann also G Elemente enthalten, die weder in N noch in $\begin{eqnarray*} N_G(P) \end{eqnarray*}$ enthalten sind, dein Ansatz würde daher nicht funktionieren.
Du kannst dir auch mal überlegen, dass für zwei Untergruppen $\begin{eqnarray*} A,B\leq G \end{eqnarray*}$ das Produkt AB genau dann nur Elemente aus A oder B enthält, wenn $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ .

Also: $\begin{eqnarray*} A\cdot B=A\cup B \Leftrightarrow A\subseteq B \text{ oder } B\subseteq A \end{eqnarray*}$

26.02.2011, 20:50

C3P0

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RE: Normalisator von p-Sylowgruppe

Zitat:

Original von arctan
$\begin{eqnarray*} g^{-1}n = m \in N_G(P) \iff n m^{-1} = g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n m^{-1} \in N N_G(P) \end{eqnarray*}$

Genau! Dazu müsstest du dir vielleicht nur noch überlegen, dass aus $\begin{eqnarray*} m\in N_G(P) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} m^{-1}\in N_G(P) \end{eqnarray*}$ folgt, falls du nicht schon weißt, dass $\begin{eqnarray*} N_G(P) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G ist.

Wir haben also mit $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ beliebig gestartet, und gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} g \in NN_G(P) \end{eqnarray*}$ . Somit folgt $\begin{eqnarray*} G \subseteq NN_G(P) \end{eqnarray*}$ . Die umgekehrte Inklusion ist klar.

Diese Aussage ist übrigens das Frattini-Argument, bzw. eine Variante davon, die wahrscheinlich am häufigsten Anwendung findet.
Grüße

26.02.2011, 20:52

arctan

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Ok, danke für die Unterstützung euch beiden.

26.02.2011, 20:52

Gast11022013

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RE: Normalisator von p-Sylowgruppe
Warum ist die Rückrichtung klar? Big Laugh

Big Laugh

26.02.2011, 20:53

Gast11022013

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Danke, aber der Dank gilt allein C3P0.

26.02.2011, 20:54

arctan

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RE: Normalisator von p-Sylowgruppe
In N und $\begin{eqnarray*} N_G(P) \end{eqnarray*}$ liegen ja nur Elemente aus G. Größer als G wird da das Erzeugnis nicht werden können. Jetzt mal salopp gesagt ;-)

26.02.2011, 20:56

Gast11022013

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RE: Normalisator von p-Sylowgruppe
Stimmt...

Also ich finde, das ist aber keine typische Klausuraufgabe.

Oder anders gesagt: Ich hoffe es!

[Hoffentlich kommen solche Aufgaben nur so nebenbei dran. Für die, die sich sowieso langweilen und nach einer halben Stunde fertig sind.]

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