Fragen zur freien Optimierung

26.02.2011, 17:48

SFR

Fragen zur freien Optimierung

Hallo,

ich befinde mich gerade in meiner Klausurvorbereitung. Hierzu wurden von meinem Dozenten "Lernerfolgsfragen" bereitgestellt, die ich leider nicht alle lösen konnte. Bzw. anhand der Vorlesung und der begleitenden Unterlagen nicht sicher bin, ob meine Antwort richtig ist.

Folgende Fragen:

1. In praktischen Optimierungsaufgaben haben wir nicht immer $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in einer analystischen Form $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} - \sin(x) \end{eqnarray*}$ vorliegen. Sondern?

2. Welche Gestalt hat eine lineare Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{n} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Und eine quadratische Funktion?

Meine Idee war zu:

1.
Das hierbei die Antwort wäre, dass Optimierungsaufgaben einfach in Form eines schriftlich formulierten Problems vorliegen. Erläuterung anhand eines Beispiels: Sie stellen ein Produkt X her und haben 5 Lieferanten mit jeweils verschiedenen Gütern und Preisen und einen Käufer Y bestimmte Mengen kauft. Hierbei soll nun die Bestellmenge optimiert werden in dem anhand der Nachfrage des Käufers Y eine optimale Menge jeder einzelnen Bestellung an die Lieferanten bestimmt wird.

2.
lineare Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=Ax+c \end{eqnarray*}$
quatratische Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=Ax^{2}+c \end{eqnarray*}$

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen und seid milde mit mir, denn ich bin neu hier und mir meiner mathematischen Schwächen bewusst unglücklich

26.02.2011, 17:53

tigerbine

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RE: Fragen zur freien Optimierung
Hallo,

Frage 1 kann man nicht mit "richtig oder falsch" beantworten. Das erschließt sich aus dem Aufbau der Vorlesung und wie dort "geredet" wird. Sicher ist aber ein Teilschritt die math. Modellierung des Problems. Es ist aber auch denkbar, dass er auf das Wort analytisch anspielt. Es gibt ja - gerade in der Praxis - auch ganzzahlige Optimierung.

2. Bei quadratisch noch mal drüber nachdenken. [Artikel] Taylorapproximation

Zitat:

Besonderes Augenmerk wollen wir auf das 2-te Taylorpolynom legen, da vor allem dieses in Übungsaufgaben (aber auch in formalen Beweisen bestimmter Sätze, beispielsweise in der Optimierung) eine Rolle spielt.

27.02.2011, 16:15

SFR

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RE: Fragen zur freien Optimierung
Erstmal danke für deine Antwort. Ich habe mir zwischenzeitlich noch Gedanken für meine Antworten gemacht und bin zu neuen Lösungen gekommen.

1.
Hier bin ich der Meinung, dass die Frage darauf abzielt, dass ein Optimierungsproblem sich z.B.aus der Lösung eines Systems von Differentialgleichungen (dh. aus einer Simulation) ergibt. Hierbei müsste man dann Unterroutinen ausführen, die das System nach dem Wert der Funktion und eventuell auch nach Ableitungsinformationen befragen. Ein sog. Orakel 0., 1. oder 2. Ordnung.

2.
Somit stellt das quadratische Modell eine Taylor-Entwicklung 2. Ordnung dar. Man nähert die Funktion mit der Taylor-Entwicklung an und erhält somit ein quadratisches Modell, das die gleiche Steigung und Krümmung an der betrachteten Stelle (bzw. nahe genug an der Stelle) hat.

Inwiefern habe ich recht?

27.02.2011, 16:42

tigerbine

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RE: Fragen zur freien Optimierung
1. Ich wiederhole mich. Es gibt keine eindeutige Antwort. Es richtet sich nach den Problemen, die ihr behandelt habt.

2. Du sollst hier eine allgemeine Funktion des geforderten Typs hinschreiben. Das ist üblich das erste, was man im Kapitel lineare bzw. quadratische Optimierung macht. Der Rest ist Interpretation, mit dem Link wollte ich nur auf die Bauart hinweisen, also dass dein

$\begin{eqnarray*} f(x)=Ax^{2}+c \end{eqnarray*}$

im Mehrdimensionalen falsch ist. Ferner passt auch deine lineare Funktion nicht (nicht wegen dem affin, da ist man hier schludrig im benennen), sonder weil sie die Vorgabe, nach IR abzubilden nicht erfüllt. Also, noch mal drüber nachdenken.

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