3-adische Zahlen

26.02.2011, 18:23	dari_dw	Auf diesen Beitrag antworten »
3-adische Zahlen Hallo, ich habe eine kurze Frage : Aus welchen Elementen besteht $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ ? Damit ist nicht der Restklassenkörper gemeint, sondern die 3-adischen ganzen Zahlen. Ich weiß nur, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \subset \mathbb Q_3 \end{eqnarray}$ gilt und $\begin{eqnarray} \mathbb Q_3 \end{eqnarray}$ ist der Körper der 3-adischen Zahlen. Wie aber die Elemente darin aussehen weiß ich auch nicht. Die Beantwortung der Fragen : - Aus welchen Elementen besteht $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ und wie kann man die Elemente darstellen? - Aus welchen Elementen besteht $\begin{eqnarray} \mathbb Q_3 \end{eqnarray}$ und wie kann man die Elemente darstellen? wäre mir sehr wichtig. Diese Fragen ergaben sich aus einer Klausurvorbereitung zu einer Mathematik-Klausur. Mit Grüssen, dari_dw
26.02.2011, 18:50	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, eigentlich sollte dieses Forum hier nicht dein Skript bzw. deine Vorlesung ersetzen, daher hier die Kurzfassung: $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_p = \left\{ \sum_{k=0}^\infty a_k p^k ~\|~ a_k \in \{0,...,p-1\} \right\} \end{eqnarray}$ Addiert wird durch $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty a_k p^k + \sum_{k=0}^\infty b_k p^k = \sum_{k=0}^\infty (a_k + b_k) p^k \end{eqnarray}$ mit Übertrag nach rechts, wenn $\begin{eqnarray} a_k+b_k > p-1 \end{eqnarray}$ . Multiplikation ist dann dadurch auch erklärt, das funktioniert wie schriftliches Multiplizieren in der Grundschule. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray}$ ist Integritätsbereich und $\begin{eqnarray} {\rm Quot}(\mathbb{Z}_p)=\mathbb{Q}_p \end{eqnarray}$ . Jedes Nicht-Vielfache von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist jedoch schon in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray}$ invertierbar, also $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_p^= \mathbb{Z}_p - p\mathbb{Z}_p \end{eqnarray}$ . Darstellen kann man die Elemente übrigens auch als Folgen, d.h. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty a_k p^k \end{eqnarray}$ kann man auch schreiben als $\begin{eqnarray} (a_0,a_1,a_2,...) \end{eqnarray*}$ .

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