Holomorphie und Differnzierbarkeit

26.02.2011, 18:51

Holorollo

Holomorphie und Differnzierbarkeit

Abend,

bei diesen 2 Aufgaben weiß ich nicht so recht weiter:

Man untersuche, in welchen Punkten die Funktionen differenzierbar bzw. holomorph sind.

1.
$\begin{eqnarray*} f(z)=e^{|z|^2} \end{eqnarray*}$

Da habe ich leider keine Idee.

2.
$\begin{eqnarray*} f(z)=e^{\frac 1 2 (x^2-y^2)}\cdot \cos(xy)+i \cdot e^{\frac 1 2 (x^2-y^2)}\cdot \sin(xy) \end{eqnarray*}$

Hier könnte man ja die Laplace Gleichung anwenden. Aber das Differenzieren wäre doch purer Selbstmord, oder? Geht das noch einfacher?

27.02.2011, 17:00

Holorollo

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Also die erste habe ich nun gelöst. Die Funktion ist ja rein reell. Damit ist der Imaginärteil Null und die Cauchy DGLs sind nur im Ursprung erfüllt.

Andere Frage. Wo ist der unterschied zwischen Holomorphie und differenzierbarkeit?

Und hat jemand eine Idee für die 2.?

27.02.2011, 17:22

Leopold

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Zitat:

Original von Holorollo
Und hat jemand eine Idee für die 2.?

$\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{e}^{\frac{1}{2} z^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Holorollo
Wo ist der unterschied zwischen Holomorphie und differenzierbarkeit?

Holomorphie in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ bedeutet komplexe Differenzierbarkeit in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ . Für offene Mengen ausgesprochen, ist also komplexe Differenzierbarkeit dasselbe wie Holomorphie. Aber siehe dein Beispiel Nr. 1.

27.02.2011, 17:26

Holorollo

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Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{e}^{\frac{1}{2} z^2} \end{eqnarray*}$

Wie siehst du das so schnell?

27.02.2011, 17:28

Leopold

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Erfahrung. Sonst nichts.

27.02.2011, 17:30

Holorollo

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Ah na dann smile

. Mit dem Ausklammern von e^(...) habe ich es jetzt auch hin bekommen. Aber darauf muss man erst einmal kommen.

Und könnte ich jetzt so Argumentieren, dass die Funktion auf ganz C holomorph ist, weil sie aus holomorphen Funktionen zusammengesetzt ist?

27.02.2011, 17:35

Leopold

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Wenn du die entsprechenden Ableitungsregeln verwenden darfst, ja.

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