Komplexe Zahlen

26.02.2011, 19:02

mathe15965

Komplexe Zahlen

Hallo
Habe Probleme bei dieser Aufgabe.

Frage:
Für welche Punkte der Gaußschen Zahlenebene gilt:

$\begin{eqnarray*} |z| > 2 \end{eqnarray*}$

Idee:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}=z \end{eqnarray*}$

Habe leider keine Lösung mit der ich die Aufgabe überprüfen kann.

26.02.2011, 19:55

system-agent

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Der Betrag der komplexen Zahl muss grösser als 2 sein.
Eine Spur einfacher:
Wo sind denn alle komplexen Zahlen mit Betrag = 1? Wo also diese mit Betrag > 1 ? Nun ersetze in der Überlegung die 1 durch die 2.

Ansonsten: Polarkoordinaten !

26.02.2011, 20:37

mathe15965

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Zitat:
Wo sind denn alle komplexen Zahlen mit Betrag = 1?
Wo also diese mit Betrag > 1 ?

Ich würde sagen, dass kann man gar nicht so genau sagen.
Es gibt sehr viele.
Von einem Punkt x aus alle Koordinaten die kreisförmig mit dem Betrag 1 um den Punkt x laufen.

26.02.2011, 23:39

system-agent

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Zitat:

Original von mathe15965
Ich würde sagen, dass kann man gar nicht so genau sagen.
Es gibt sehr viele.

Stimmt, sogar ziemlich viele Big Laugh

.

Ernsthaft:
Der Betrag sagt dir anschaulich gerade welchen "Abstand" die Zahl zum Nullpunkt hat. Falls man nun alle Zahlen mit Betrag = 2 betrachtet dann bedeutet das also folglich, dass alle diese Zahlen genau den Abstand 2 zum Nullpunkt haben müssen.
Was für eine geometrische Figur bilden also alle diese Zahlen?

27.02.2011, 00:39

mathe15965

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Zitat:

Was für eine geometrische Figur bilden also alle diese Zahlen?

Ich würde sagen einen Kreis.

$\begin{eqnarray*} U=2*\pi *r \end{eqnarray*}$

Für alle Punkte die größer als $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ sind. verwirrt

Nur wie schreibt man das mathematisch in einer schönen Schreibweise ?

27.02.2011, 08:48

system-agent

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Zitat:

Original von mathe15965

Zitat:

Was für eine geometrische Figur bilden also alle diese Zahlen?

Ich würde sagen einen Kreis.

Das ist richtig, der Rest ist aber Unsinn. Was willst du denn mit dem Umfang dieses Kreises?

OK, also alle Punkte mit Betrag = 2 bilden einen Kreis um den Nullpunkt. Um es nochmal zu sagen, Betrag = 2 bedeutet genau, dass diese Punkte also den Abstand = 2 zum Nullpunkt haben [deshalb ja auch der Kreis von Radius 2].

Nun hast du also ein Inneres und ein Äusseres des Kreises.
Alle Zahlen im Inneren des Kreises erfüllen deshalb $\begin{eqnarray*} |z| ??? 2 \end{eqnarray*}$ und alle im Äusseren des Kreises erfüllen $\begin{eqnarray*} |z| ??? 2 \end{eqnarray*}$ .
Hinweis: Die Null hat Abstand Null zum Nullpunkt, also $\begin{eqnarray*} |0|=0 \end{eqnarray*}$ .

27.02.2011, 18:21

mathe15965

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Zitat:

Alle Zahlen im Inneren des Kreises erfüllen deshalb $\begin{eqnarray*} |z|???2 \end{eqnarray*}$ und alle im Äusseren des Kreises erfüllen $\begin{eqnarray*} |z|???2 \end{eqnarray*}$ .

Innere des Kreises:
$\begin{eqnarray*} |z| <=2 \end{eqnarray*}$

Äussere des Kreises:
$\begin{eqnarray*} |z|>2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ?

27.02.2011, 18:25

system-agent

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Ja, auch wenn man mit "Innerem" eher $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ meint. Jedenfalls hast du nun eine verbale Beschreibung dafür, für welche $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |z|>2 \end{eqnarray*}$ gilt. Du kannst es auch in der Gaussschen Ebene zeichnen.

27.02.2011, 18:49

mathe15965

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ok das ist jetzt aber nur eine verbale Lösung.

Kann man das auch irgendwie mathematisch ausdrücken ?

Bzw. kann man das auch so schreiben ?
Für alle Beträge größer 2 und alle Winkel von 0-360 Grad.
Dieses müsste man doch dann irgendwie in eine Lösungsmenge angeben können oder ?

Ich weiß nur nicht wie unglücklich

Wenn ich das in der Gausschen Ebene zeichnen würde, wär das ja wie bereits angesprochen einfach ein Kreis.

27.02.2011, 19:53

pheips

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Hi!

Schreib dir dochmal die passende Kreisgleichung auf, und denk dann darüber nach welche Rolle Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl in dieser erfüllen. Dann hast du deine Lösungsmenge quasi schon dastehen.

lG
pheips

27.02.2011, 20:19

system-agent

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Zitat:

Original von mathe15965
Wenn ich das in der Gausschen Ebene zeichnen würde, wär das ja wie bereits angesprochen einfach ein Kreis.

Quatsch, es ist das Äussere eines Kreises.

Und die passende Bedingung hast du schon um es als Menge zu schreiben:
$\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C\,\,:\,\,|z|>2\} \end{eqnarray*}$ .

27.02.2011, 21:11

mathe15965

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Zitat:

Quatsch, es ist das Äussere eines Kreises.

ja sorry ich mein alles was nicht im Kreis ist.

Also so wird das als Lösungsmenge geschrieben ?
(möchte nur ganz sicher gehn das ich das jetzt nicht falsch verstanden habe)

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ z\in \mathbb C:|z|>2 \right\} \end{eqnarray*}$

27.02.2011, 21:27

system-agent

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Lösungsmenge? Wovon? Du hast nur gefragt was die Menge aller Zahlen mit $\begin{eqnarray*} |z|>2 \end{eqnarray*}$ ist.

27.02.2011, 22:14

mathe15965

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Die Frage war:
Für welche Punkte der Gaußschen Zahlenebene gilt ...

Ich hab wie gesagt leider keine Lösung von der Aufgabe und da dass auch meine erste Aufgabe in dieser Form ist weiß ich leider auch nicht wie so eine Lösung auszusehn hat.

Aber, wenn du meinst das die Antwort auf die Frage auf verbaler Ebene beantwortet ist glaub ich dir mal. smile

Ich danke dir trozdem für deine Hilfe Freude

28.02.2011, 08:17

system-agent

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Meine Meinung dazu ist, dass die Fragestellung der Aufgabe Unsinnig ist. Ganz pedantisch hätte ich dort hingeschrieben "für alle komplexen Zahlen die $\begin{eqnarray*} |z|>2 \end{eqnarray*}$ erfüllen".
Die Aufgabenstellung sollte schon vorgeben in welcher anderen Form du diese Menge beschreiben sollst.

Wie erwähnt, geometrisch ist es das Äussere eines Kreises um Null mit Radius 2 [ohne den Kreisrand].

28.02.2011, 10:15

pheips

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Die Aufgabenstellung ist wirklich ungenau. Ich könnte mir aber vorstellen, dass in etwa folgende Darstellung der Lösungsmenge gesucht ist:

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ z=x+iy\in \mathbb C:x^2+y^2>4 \right\} \end{eqnarray*}$

Ist zwar nicht viel anders als die Darstellung mit dem Betrag, aber evt. dann einem ungeschulten Auge leichter ersichtlich, dass es sich um das Äußere eines Kreises handelt.

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