Komplexe Abbildung

26.02.2011, 21:55	Tom L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Abbildung Hallo, Bei der Aufgabe habe ich ein paar Probeme: Man bestimme das Bild des Einheitsquadrates mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray} z_1 = -1-i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z_2 =1-i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z_3 =1+i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_4 =-1+i \end{eqnarray}$ , das durch die Abbildung $\begin{eqnarray} w=f(z)=\frac{z+1}{ z-1} \end{eqnarray}$ vermittelt wird. Wie löst man die am besten? Wir hatten in den Übungen mehrere Methoden. Eine war 3 Punkte bestimmen, und dann durch scharfes Hinschauen die Kreis bzw. geraden Gleichung bestimmen. Das geht hier leider nicht so einfach. Eine andere war die Parametrisierung des Weges und dann ausrechnen. Z.B. das Obige Geradenstück: $\begin{eqnarray} z=1-t+i \end{eqnarray}$ mit t von 0 bis 2. Das in die Abbildung einsetzen: Da erhalte ich: $\begin{eqnarray} u=\frac{1+t^2-2t}{1+t^2} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass ich mich bis hier nicht verrechnet habe. Nur wie Eliminiere ich jetzt den Parameter? $\begin{eqnarray} v=-\frac{2i+it}{1+t^2} \end{eqnarray}$
27.02.2011, 09:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die Methode mit den drei Punkten verwenden. Nehmen wir die linke Quadratseite und betrachten wir drei auf ihr liegende Punkte. Dazu nehmen wir noch $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ als vierten Punkt. Er liegt nicht mehr auf der Quadratseite, aber auf der durch diese bestimmten Geraden: $\begin{eqnarray} z_1 = -1 - \operatorname{i} \, , \ \ z_2 = -1 \, , \ \ z_3 = -1 + \operatorname{i} \, , \ \ z_4 = \infty \end{eqnarray}$ Die korrespondierenden $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ -Werte sind $\begin{eqnarray} w_1 = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \operatorname{i} \, , \ \ w_2 = 0 \, , \ \ w_3 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} \operatorname{i} \, , \ \ w_4 = 1 \end{eqnarray}$ Wegen der Kreistreue der Möbiustransformationen liegen $\begin{eqnarray} w_1,w_2,w_3,w_4 \end{eqnarray}$ auf einem Kreis. Um Mittelpunkt und Radius zu bestimmen, nimmt man am besten elementargeometrische Methoden. Mache eine Skizze. Der Mittelpunkt eines Kreises muß auf der Mittelsenkrechten einer jeden Kreissehne liegen. Da $\begin{eqnarray} w_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_3 \end{eqnarray}$ symmetrisch zur reellen Achse liegen, ist diese eine solche Mittelsenkrechte. Die Mittelsenkrechte der Sehne von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ steht senkrecht auf der reellen Achse und geht durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Die beiden genannten Mittelsenkrechten schneiden sich in $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Damit haben wir den Mittelpunkt des Kreises. Und der Radius des Kreises ist offensichtlich auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Wenn man nun die Quadratseite in der Reihenfolge $\begin{eqnarray} z_1,z_2,z_3 \end{eqnarray}$ durchläuft, wird ein Kreisbogen in der Reihenfolge $\begin{eqnarray} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray}$ durchlaufen. Und dieser Kreisbogen ist das Bild der Quadratseite. Jetzt weißt du ja schon, was das Bild der linken Quadratseite ist. Dann kannst du natürlich auch eine Parametrisierung des Bogens nehmen, indem du das Bild von $\begin{eqnarray} z = z(t) = -1 + \operatorname{i} t \, , \ \ -1 \leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ bestimmst: $\begin{eqnarray} w = w(t) = u(t) + \operatorname{i} v(t) \end{eqnarray}$ Und es sollte sich beim Nachrechnen ganz von alleine $\begin{eqnarray} \left( u(t) - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( v(t) \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \end{eqnarray}$ ergeben. Bei deiner Rechnung für das Bild der oberen Quadratseite scheint mir $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ nicht zu stimmen. Zunächst gehört $\begin{eqnarray} \operatorname{i} \end{eqnarray}$ da nicht hin, denn der Imaginärteil selbst ist eine reelle Größe. Dann ist auch der Zähler an sich falsch. Rechne noch einmal nach. (Bei $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ erkennt man im Zähler übrigens eine binomische Formel. Vielleicht kann das bei der Rechnung helfen.)
27.02.2011, 10:55	Tom L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke. Ich habe nicht an die Abbildung von Unendlich gedacht. Mit der Sieht man es natürlich wirklich. Aber nochmal zur Parametrisierung: Für die obere Seite: $\begin{eqnarray} z=1-t+i \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} 0\le t \le 2 \end{eqnarray}$ Damit komme ich jetzt auf: $\begin{eqnarray} u(t)=\frac{{(t-1)}^2}{1+t^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v(t)=\frac {-2}{1+t^2} \end{eqnarray}$ Nur sehe ich da immer noch nichts, das t zu eliminieren.
27.02.2011, 11:03	Tom L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso noch was bei der Oberen Strecke helfen mir die Punkte nicht weiter, oder? $\begin{eqnarray} z_1=1+i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2=i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_3=-1+i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_4=\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_1=1-2i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2=-i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_3=\frac 1 5 - \frac 2 5 i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_4=1 \end{eqnarray}$ Oder gibt es hier auch eine geometrische Deutung?
27.02.2011, 16:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht genau so wie mit der anderen Quadratseite. Auch hier ist das Bild ein Kreisbogen. Das Verfahren zur Ermittlung des Kreises habe ich bereits geschildert. Ich brauche mich nicht zu wiederholen.
27.02.2011, 16:19	Tom L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber hier gibt es doch die Symmetrie nicht, die es bei der anderen Seite gab.
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27.02.2011, 16:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast sechs Sehnen und damit sechs Mittelsenkrechte. Und nur zwei brauchst du! Hier ist ja alles noch viel einfacher. Die Mittelsenkrechte der Sehne von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 1 - 2 \operatorname{i} \end{eqnarray}$ ist parallel zur reellen Achse und geht auch noch durch den Kreispunkt $\begin{eqnarray} - \operatorname{i} \end{eqnarray}$ hindurch. Den Kreis sieht man ja schon förmlich ...
27.02.2011, 16:34	Tom L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Super. Danke ich hatte das mit den Sehnen und Mittelsenkrechten noch nicht ganz so verinnerlicht. Jetzt ist Alles klar.

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