Konvergenz und Limes

Neue Frage »

Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Limes
Meine Frage:
Man untersuche auf Konvergenz und berechne den Limes für n -> unendlich:

Bsp: (1-2n+3n²)/(4+5n²) (mit Fußnote "n")

Meine Ideen:
Ist es nicht so, dass wenn ein Grenzwert existiert (d.h. man berechnet den Limes), die Folge auch automatisch gegen den Grenzwert konvergiert?

Mich stört dieses "untersuche auf Konvergenz". Was ist damit gemeint? Gibt es ein kurzes Verfahren um auf Konvergenz zu untersuchen?

Und was bedeutet diese Fußnote?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du sollst hier prüfen, ob die Folge konvergiert.

Wenn sie konvergiert, dann tut sie dies gegen einen eindeutigen Grenzwert.

Als Tipp hier: Klamme mal im Zähler und Nenner aus.
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir.

Also hätte die Aufgabe auch nur aus:

"berechne den Limes für n -> unendlich"

bestehen können oder?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.


Der Limes existiert nur, wenn die Folge konvergiert.

Du sollst aber auf Konvergenz Prüfen, d.h. schau, ob sie konvergiert.

Denn nur wenn sie konvergiert hat sie auch einen Grenzwert.


Nicht konvergente Folgen wären zB die mit den folgenden Bildungsvorschriften:


Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ja meine Frage.

Wie prüft man auf Konvergenz?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man nicht verallgemeinern.


Bei Folgen, die aufgebaut sind wie dein Beispiel, klammert man das n mit dem größten Exponenten des Nenners aus und schaut, was passiert, wenn dann n gegen unendlich geht.


Aber sowas gibt es zu doch ausreichend in den Vorlesungen, wie wäre es, wenn du dir mal ein paar Definitionen und Beispiele in deinem Skript anschaust?
 
 
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Prinzip mit dem ausklammern kannte ich schon. Das mach ich ja um den Grenzwert zu bestimmen.

Also folgt aus "vorhandener Grenzwert" -> "konvergent" oder?

PS: Mein Skript ist ziemlich unverständlich....
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn Konvergenz definiert?
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe meine Unterlagen grad nicht bei mir, aber ich glaube mich erinnern zu können, dass eine Folge konvergiert wenn die Folgewerte sich dem Grenzwert immer mehr nähern.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Goofy2
Habe meine Unterlagen grad nicht bei mir, aber ich glaube mich erinnern zu können, dass eine Folge konvergiert wenn die Folgewerte sich dem Grenzwert immer mehr nähern.

Hm, demnach konvergiert also die Folge definiert durch



gegen 2, weil sich die Folge 2 immer mehr nähert?... geschockt

Edit: Sry, chrizke ist eh online, ich will mich also hier nicht weiter einmischen...
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von Goofy2
Habe meine Unterlagen grad nicht bei mir, aber ich glaube mich erinnern zu können, dass eine Folge konvergiert wenn die Folgewerte sich dem Grenzwert immer mehr nähern.

Hm, demnach konvergiert also die Folge definiert durch



gegen 2, weil sich die Folge 2 immer mehr nähert?... geschockt

Edit: Sry, chrizke ist eh online, ich will mich also hier nicht weiter einmischen...


Aber wenn man in deinem Beispiel immer Größere Zahlen einsetzt dann nähert man sich doch der 1?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Goofy2
Aber wenn man in deinem Beispiel immer Größere Zahlen einsetzt dann nähert man sich doch der 1?

Ja, auch der 1, aber eben auch der 2, so wie jedem anderen Wert grösser als 1... Wollte damit nur sagen, dass dein Begriff der "Konvergenz" viel zu vage ist...
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hilf mir auf die Sprünge... Gott

Wie ist die oben genannte Aufgabe zu verstehen?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Mystic meint, dass du nicht genau definiert hast, was "sich nähern" bedeutet.

Im Prinzip meinst du schon das richtige, hast es aber nicht richtig ausgedrückt.


Aber ich bin jetzt mal essen, vielleicht kann Mystic an dieser Stelle weitermachen.
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Appetit.

Mystic?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde schon gesagt, dass du Zähler und Nenner durch dividieren solltest (weil die größte im Nenner vorkommende Potenz von n ist), wonach du dann unter Verwendung der sog. "Grenzwertsätze" (sind dir doch hoffentlich ein Begriff, sonst müssten wir uns auch darüber noch unterhalten) den Grenzwert direkt bilden kannst...
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Zitat:
Original von Goofy2
Meine Frage:
Man untersuche auf Konvergenz und berechne den Limes für n -> unendlich:

Bsp: (1-2n+3n²)/(4+5n²) (mit Fußnote "n")



Damit wir uns nicht falsch verstehen.

Der Grenzwert vom Beispiel ist 3/5

Mich stört: "untersuche auf Konvergenz"
Hab ich nicht mit diesem Grenzwert auch bewiesen, dass im Beispiel die Folge gegen 3/5 konvergiert?
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Ich möchte gern wissen wie ich bevor ich den Grenzwert bestimmt habe, die Funktion einfach und schnell begründet auf konvergenz untersuche.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Zitat:
Original von Goofy2
Ich möchte gern wissen wie ich bevor ich den Grenzwert bestimmt habe, die Funktion einfach und schnell begründet auf konvergenz untersuche.

Das brauchst du hier in diesem Fall eben nicht, denn es gibt dazu hier die sog. Grenzwertsätze, welche besagen, dass wenn zwei Folgen und konvergieren,, und zwar gegen die Grenzwerte a bzw. b, dann konvergieren auch die Folgen



und zwar gegen die Grenzwerte



(letzeres natürlich nur für ...

Was du vielleicht meinst, ist der Fall, dass eine Folge durch eine Rekursion gegeben ist, z.B. durch



Hier muss man vorher zeigen, dass die Folge überhaupt konvergiert, um dann aus der Rekursionsgleichung den Grenzwert berechnen zu können...
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Ich habe mal eine andere Aufgabe rausgesucht:



Meine Lösung:
Ich habe beide Faktoren getrennt betrachtet. springt ja zwischen -1 und 1. Es gibt also nur dann einen Grenzwert wenn der 2te Faktor gegen 0 geht, der Grenzwert ist dann 0. Bei einem anderen Ergebnis würde das Ergebnis zwischen + und - hin und her springen.




(ich habe in der Klammer L'hospital angewand, darf man das? Wegen dem hoch "x"?))

= =

=> +/-

In diesem Fall gibt es keinen Grenzwert, somit Konvergiert hier auch nichts oder?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Du darst Ausdrücke in einem Grenzwert nur dann trennen, wenn die entstehenden Teilausdrücke dann noch immer konvergieren... Nimm als einfaches Beispiel den Grenzwert



welcher klar den Wert 1 ergibt, da du ja durch x kürzen kannst... Wenn du aber das in zwei Ausdrücke zerteilst, also das so berechnest



hast du plötzlich ein Riesenproblem, nämlich den unbestimmten Wert ... Deine Überlegungen hier sind somit grundfalsch...

Edit: Davon abgesehen sind natürlich Berechnungen wie

Zitat:
Original von Goofy2


ein Wahnsinn!... geschockt
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Gut danke. Das mit dem nicht trennen hab ich geschnallt.

Der Rest war demnach voll daneben. aber wie geh ich das denn an? Steh auf dem Schlauch Hammer
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Zitat:


= =



Upps.... Das geht natürlich in die andere Richtung^^ -> 0
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Zitat:
Original von Goofy2


(ich habe in der Klammer L'hospital angewand, darf man das? Wegen dem hoch "x"?))

= =


So ein "stufenweiser" Grenzübergang ist natürlich auch absurd... Denk z.B. an den Grenzwert



den man dann nach deiner Methode so ausrechnen könnte



mit offensichtlich falschem Ergebnis...

Ne, was deinen Grenzwert betrifft, so würde ich mir überlegen, dass



für genügend große x gilt und dann mit dem sog. Sandwich-Lemma weitermachen...
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Wie du dir Vorstellen kannst, bin ich gerade in Klausurvorbereitungen. Das mit dem Sandwich haben wir sicher nicht gemacht, kommt also nicht dran. Das ist bestimmt ne gute Sache, aber ich möchte jetzt nicht "unnötig" viel neues lernen, weil das eh schon viel ist, was ich mir merken muss.
Gibt es nicht noch andere, "konventionellere", Methoden?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Zitat:
Original von Goofy2
(...)
Gibt es nicht noch andere, "konventionellere", Methoden?

Das Sandwichlemma ist schon die konventionellste Methode neben dem direkten Ausrechnen eines Grenzwertes.
Goofy2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
kann man das nicht direkt ausrechnen?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Zitat:
Original von Goofy2
Das mit dem Sandwich haben wir sicher nicht gemacht


Bist du dir da sicher? Eventuell hat euer Prof diesem Satz/Lemma/Korollar keinen Namen gegeben...


Ibn Batuta
phlix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Zitat:
Original von Mystic

Ne, was deinen Grenzwert betrifft, so würde ich mir überlegen, dass



für genügend große x gilt und dann mit dem sog. Sandwich-Lemma weitermachen...


wie kommt mystic hier auf (2/3)hochx? wäre sehr dankbar
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Limes
Zitat:
Original von phlix
wie kommt mystic hier auf (2/3)hochx? wäre sehr dankbar

Statt q=2/3 könntest auch jeden anderen Wert nehmen, welcher die Ungleichungen 1/2<q<1 erfüllt, d.h., dieser Wert ist relativ willkürlich gewählt...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »