Konvergenz und Limes |
27.02.2011, 12:38 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergenz und Limes Man untersuche auf Konvergenz und berechne den Limes für n -> unendlich: Bsp: (1-2n+3n²)/(4+5n²) (mit Fußnote "n") Meine Ideen: Ist es nicht so, dass wenn ein Grenzwert existiert (d.h. man berechnet den Limes), die Folge auch automatisch gegen den Grenzwert konvergiert? Mich stört dieses "untersuche auf Konvergenz". Was ist damit gemeint? Gibt es ein kurzes Verfahren um auf Konvergenz zu untersuchen? Und was bedeutet diese Fußnote? |
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27.02.2011, 12:45 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja du sollst hier prüfen, ob die Folge konvergiert. Wenn sie konvergiert, dann tut sie dies gegen einen eindeutigen Grenzwert. Als Tipp hier: Klamme mal im Zähler und Nenner aus. |
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27.02.2011, 12:55 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich danke dir. Also hätte die Aufgabe auch nur aus: "berechne den Limes für n -> unendlich" bestehen können oder? |
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27.02.2011, 12:57 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Der Limes existiert nur, wenn die Folge konvergiert. Du sollst aber auf Konvergenz Prüfen, d.h. schau, ob sie konvergiert. Denn nur wenn sie konvergiert hat sie auch einen Grenzwert. Nicht konvergente Folgen wären zB die mit den folgenden Bildungsvorschriften: |
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27.02.2011, 13:08 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das war ja meine Frage. Wie prüft man auf Konvergenz? |
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27.02.2011, 13:17 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kann man nicht verallgemeinern. Bei Folgen, die aufgebaut sind wie dein Beispiel, klammert man das n mit dem größten Exponenten des Nenners aus und schaut, was passiert, wenn dann n gegen unendlich geht. Aber sowas gibt es zu doch ausreichend in den Vorlesungen, wie wäre es, wenn du dir mal ein paar Definitionen und Beispiele in deinem Skript anschaust? |
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27.02.2011, 13:20 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Prinzip mit dem ausklammern kannte ich schon. Das mach ich ja um den Grenzwert zu bestimmen. Also folgt aus "vorhandener Grenzwert" -> "konvergent" oder? PS: Mein Skript ist ziemlich unverständlich.... |
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27.02.2011, 13:22 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie habt ihr denn Konvergenz definiert? |
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27.02.2011, 13:23 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe meine Unterlagen grad nicht bei mir, aber ich glaube mich erinnern zu können, dass eine Folge konvergiert wenn die Folgewerte sich dem Grenzwert immer mehr nähern. |
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27.02.2011, 13:28 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, demnach konvergiert also die Folge definiert durch gegen 2, weil sich die Folge 2 immer mehr nähert?... Edit: Sry, chrizke ist eh online, ich will mich also hier nicht weiter einmischen... |
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27.02.2011, 13:35 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber wenn man in deinem Beispiel immer Größere Zahlen einsetzt dann nähert man sich doch der 1? |
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27.02.2011, 13:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, auch der 1, aber eben auch der 2, so wie jedem anderen Wert grösser als 1... Wollte damit nur sagen, dass dein Begriff der "Konvergenz" viel zu vage ist... |
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27.02.2011, 13:41 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hilf mir auf die Sprünge... Wie ist die oben genannte Aufgabe zu verstehen? |
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27.02.2011, 13:43 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mystic meint, dass du nicht genau definiert hast, was "sich nähern" bedeutet. Im Prinzip meinst du schon das richtige, hast es aber nicht richtig ausgedrückt. Aber ich bin jetzt mal essen, vielleicht kann Mystic an dieser Stelle weitermachen. |
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27.02.2011, 13:47 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Guten Appetit. Mystic? |
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27.02.2011, 13:48 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es wurde schon gesagt, dass du Zähler und Nenner durch dividieren solltest (weil die größte im Nenner vorkommende Potenz von n ist), wonach du dann unter Verwendung der sog. "Grenzwertsätze" (sind dir doch hoffentlich ein Begriff, sonst müssten wir uns auch darüber noch unterhalten) den Grenzwert direkt bilden kannst... |
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27.02.2011, 21:22 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes
Damit wir uns nicht falsch verstehen. Der Grenzwert vom Beispiel ist 3/5 Mich stört: "untersuche auf Konvergenz" Hab ich nicht mit diesem Grenzwert auch bewiesen, dass im Beispiel die Folge gegen 3/5 konvergiert? |
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27.02.2011, 21:52 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes Ich möchte gern wissen wie ich bevor ich den Grenzwert bestimmt habe, die Funktion einfach und schnell begründet auf konvergenz untersuche. |
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27.02.2011, 22:16 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes
Das brauchst du hier in diesem Fall eben nicht, denn es gibt dazu hier die sog. Grenzwertsätze, welche besagen, dass wenn zwei Folgen und konvergieren,, und zwar gegen die Grenzwerte a bzw. b, dann konvergieren auch die Folgen und zwar gegen die Grenzwerte (letzeres natürlich nur für ... Was du vielleicht meinst, ist der Fall, dass eine Folge durch eine Rekursion gegeben ist, z.B. durch Hier muss man vorher zeigen, dass die Folge überhaupt konvergiert, um dann aus der Rekursionsgleichung den Grenzwert berechnen zu können... |
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28.02.2011, 11:01 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes Ich habe mal eine andere Aufgabe rausgesucht: Meine Lösung: Ich habe beide Faktoren getrennt betrachtet. springt ja zwischen -1 und 1. Es gibt also nur dann einen Grenzwert wenn der 2te Faktor gegen 0 geht, der Grenzwert ist dann 0. Bei einem anderen Ergebnis würde das Ergebnis zwischen + und - hin und her springen. (ich habe in der Klammer L'hospital angewand, darf man das? Wegen dem hoch "x"?)) = = => +/- In diesem Fall gibt es keinen Grenzwert, somit Konvergiert hier auch nichts oder? |
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28.02.2011, 11:28 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes Du darst Ausdrücke in einem Grenzwert nur dann trennen, wenn die entstehenden Teilausdrücke dann noch immer konvergieren... Nimm als einfaches Beispiel den Grenzwert welcher klar den Wert 1 ergibt, da du ja durch x kürzen kannst... Wenn du aber das in zwei Ausdrücke zerteilst, also das so berechnest hast du plötzlich ein Riesenproblem, nämlich den unbestimmten Wert ... Deine Überlegungen hier sind somit grundfalsch... Edit: Davon abgesehen sind natürlich Berechnungen wie
ein Wahnsinn!... |
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28.02.2011, 12:39 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes Gut danke. Das mit dem nicht trennen hab ich geschnallt. Der Rest war demnach voll daneben. aber wie geh ich das denn an? Steh auf dem Schlauch |
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28.02.2011, 12:43 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes
Upps.... Das geht natürlich in die andere Richtung^^ -> 0 |
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28.02.2011, 13:21 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes
So ein "stufenweiser" Grenzübergang ist natürlich auch absurd... Denk z.B. an den Grenzwert den man dann nach deiner Methode so ausrechnen könnte mit offensichtlich falschem Ergebnis... Ne, was deinen Grenzwert betrifft, so würde ich mir überlegen, dass für genügend große x gilt und dann mit dem sog. Sandwich-Lemma weitermachen... |
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28.02.2011, 14:09 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes Wie du dir Vorstellen kannst, bin ich gerade in Klausurvorbereitungen. Das mit dem Sandwich haben wir sicher nicht gemacht, kommt also nicht dran. Das ist bestimmt ne gute Sache, aber ich möchte jetzt nicht "unnötig" viel neues lernen, weil das eh schon viel ist, was ich mir merken muss. Gibt es nicht noch andere, "konventionellere", Methoden? |
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28.02.2011, 14:48 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes
Das Sandwichlemma ist schon die konventionellste Methode neben dem direkten Ausrechnen eines Grenzwertes. |
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28.02.2011, 15:19 | Goofy2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes kann man das nicht direkt ausrechnen? |
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28.02.2011, 18:02 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes
Bist du dir da sicher? Eventuell hat euer Prof diesem Satz/Lemma/Korollar keinen Namen gegeben... Ibn Batuta |
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15.03.2011, 20:54 | phlix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes
wie kommt mystic hier auf (2/3)hochx? wäre sehr dankbar |
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15.03.2011, 21:56 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz und Limes
Statt q=2/3 könntest auch jeden anderen Wert nehmen, welcher die Ungleichungen 1/2<q<1 erfüllt, d.h., dieser Wert ist relativ willkürlich gewählt... |
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