Picard-Lindelöf?

27.02.2011, 14:31

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Picard-Lindelöf?

Meine Frage:
Zeigen Sie:

(i) Jedes der (2-dimensionalen) Anfangswertprobleme $\begin{eqnarray*} y_1'=|y_2|, y_2'=|y_1|, (y_1(t_0),y_2(t_0))=(w_1,w_2)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ besitzt eine eindeutige lokale Lösung.

(ii) Jedes der Anfangswertprobleme $\begin{eqnarray*} y'=sin(tx), y(t_0)=y_0\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzt eine eindeutige Lösung auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
zu (i): Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt? Wenn ja, sagt der Satz das, was man in (i) zeigen soll.

Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f=\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} |y_2| \\ |y_1| \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stetig ist und eine lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt. Richtig?

Wie kann man die Stetigkeit zeigen oder genügt es, die lokale Lipschitzbedingung zu zeigen, weil eine Funktion, die eine lokale Lipschitzbedingung erfüllt auch stetig ist?

zu (ii): Welchen Satz nimmt man hier?... Ich kenne nur den Satz von Picard-Lindelöf und der gilt ja aber nur lokal. Gibts auch einen Satz, den ich für (ii) brauchen kann und der etwas über eine globale eindeutige Lösung aussagt?

27.02.2011, 15:13

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (1):
Dass es stetig ist ist offensichtlich, denn eine Komposition stetiger Funktionen ist stetig und eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist stetig genau dann, wenn jede Komponente stetig ist.

Was die Lipschitz-Bedingung angeht: Die rechte Seite $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)\mapsto(|y_2|,|y_1|) \end{eqnarray*}$ ist stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , also inbesondere auf einer kleinen Kugel um jeden Punkt beschränkt.

Zu (2):
Die rechte Seite der Gleichung hängt nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab. Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung um alle Lösungen der Gleichung anzugeben.
Beachte insbesondere die Integrationskonstante um die einzige Lösung zu finden, die die Anfangsbedingung erfüllt.

27.02.2011, 15:54

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.)
$\begin{eqnarray*} ||f(t,y)-f(t,v)||_2^2=||\begin{pmatrix} |y_2| \\ |y_1| \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} |v_2| \\ |v_1| \end{pmatrix}||_2^2 =(|y_1|-|v_1|)^2+(|y_2|-|v_2|)^2\leq |y_1-v_1|^2+|y_2-v_2|^2=||y-v||_2^2 \end{eqnarray*}$
Wähle also z.B. L=1.
Hier erfüllt f sogar eine globale Lipschitzbedingung.

Also bei 2.) hat meine Tutorin Folgendes geschrieben, das ich jetzt erst entdeckt habe:

"Man sollte hier auch wieder mit dem Satz von Picard-Lindelöf arbeiten und via Mittelwertsatz zeigen, dass eine lokale Lipschitzbedingung erfüllt ist. Danach muss man die eindeutige lokale Lösbarkeit noch auf ganz R fortsetzen."

Und zu dem x in der Gleichung schreibt sie:

"Das sollte ein "y" sein (ist wohl ein Fehler in der Aufgabenstellung), aber so macht die Aufgabenstellung ja auch nicht so viel Sinn, denn das soll ja eine DGL sein."

Wie zeige ich denn, dass $\begin{eqnarray*} f(t,y)=\sin(ty) \end{eqnarray*}$ eine lokale Lipschitzbedingung erfüllt - und wie setze ich das denn dann fort??

Zur lokalen Lipschitzbedingung verstehe ich das mit der Umgebung nicht, ich würde aber einfach mal so anfangen:

$\begin{eqnarray*} ||f(t,y)-f(t,v)||=||\sin(ty)-\sin(tv)||... \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich aber nicht: Jetzt den Mittelwertsatz anwenden?

Meine Idee wäre:
$\begin{eqnarray*} ||\sin(ty)-\sin(tv)||=||\cos(\epsilon)\cdot t(y-v)||\leq ||\epsilon\cdot t(y-v)||=\epsilon\cdot t||y-v|| \end{eqnarray*}$ und könnte man dann nicht $\begin{eqnarray*} L:=\epsilon\cdot t \end{eqnarray*}$ wählen? Wäre damit die lokale Lipschitzbedingung erfüllt?

$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ liegt zwischen ty und tv.

Wie kann mans jetzt auf ganz R fortsetzen?
Ich hätte jetzt einfach gesagt: Man kann ja für t einen beliebigen Startwert $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ einsetzen und eine lokale Lipschitzbedingung ist erfüllt. Dann kann man doch diese ganzen kompakten Intervalle vereinigen und hat ganz R?

27.02.2011, 17:15

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo sind die Analysis III- Freunde? Big Laugh

Big Laugh

27.02.2011, 17:23

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
Zu 1.)
$\begin{eqnarray*} ||f(t,y)-f(t,v)||_2^2=||\begin{pmatrix} |y_2| \\ |y_1| \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} |v_2| \\ |v_1| \end{pmatrix}||_2^2 =(|y_1|-|v_1|)^2+(|y_2|-|v_2|)^2\leq |y_1-v_1|^2+|y_2-v_2|^2=||y-v||_2^2 \end{eqnarray*}$
Wähle also z.B. L=1.
Hier erfüllt f sogar eine globale Lipschitzbedingung.

Ja, OK.

Zitat:

Original von Dennis2010
"Das sollte ein "y" sein (ist wohl ein Fehler in der Aufgabenstellung), aber so macht die Aufgabenstellung ja auch nicht so viel Sinn, denn das soll ja eine DGL sein."

Auch wenn das wirklich ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in der Aufgabenstellung sein sollte bleibt es eine DGL.

Zitat:

Original von Dennis2010
Wie zeige ich denn, dass $\begin{eqnarray*} f(t,y)=\sin(ty) \end{eqnarray*}$ eine lokale Lipschitzbedingung erfüllt

Du musst zeigen, dass es um jede reelle Zahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gibt so, dass für $\begin{eqnarray*} y,z\in U \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} |f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z| \end{eqnarray*}$ gilt.
Du könntest zb $\begin{eqnarray*} \overline{U}=\left[p-\frac{1}{2},p+\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$
wählen.
Dann nutze den Mittelwertsatz für die Abbildung $\begin{eqnarray*} x\mapsto\sin(tx) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline{U} \end{eqnarray*}$ .
Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \overline{U} \end{eqnarray*}$ kompakt und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} \end{eqnarray*}$ stetig ist.

27.02.2011, 17:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Du musst zeigen, dass es um jede reelle Zahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gibt so, dass für $\begin{eqnarray*} y,z\in U \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} |f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z| \end{eqnarray*}$ gilt.
Du könntest zb $\begin{eqnarray*} \overline{U}=\left[p-\frac{1}{2},p+\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$
wählen.
Dann nutze den Mittelwertsatz für die Abbildung $\begin{eqnarray*} x\mapsto\sin(tx) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline{U} \end{eqnarray*}$ .
Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \overline{U} \end{eqnarray*}$ kompakt und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Ich wills sehr gerne mal versuchen, aber ich finds sehr schwer.

Okay, ich wähle also als Umgebung um eine belieb gewählte reelle Zahl p das kompakte Intervall $\begin{eqnarray*} \overline{U}=\left[p-\frac{1}{2},p+\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ (Wieso ist das mit einem über-Strich versehen? Was bedeutet das?)

$\begin{eqnarray*} |f(t,y)-f(t,z)|=|\sin(ty)-\sin(tz)| \end{eqnarray*}$ . Ich würde jetzt den Mittelwertsatz so verwenden, wie ichs oben schon gemacht habe, also:

$\begin{eqnarray*} |\sin(ty)-\sin(tz)|=|\cos(\zeta)\cdot (ty-tz)|\leq |\zeta\cdot t\cdot (y-z)|=\underbrace{\zeta\cdot t}_{=:L} |y-z| \end{eqnarray*}$

Ich habe nämlich keine Idee, wie man sonst den Mittelwertsatz zur Anwendung bringen kann.

Anzeige

27.02.2011, 17:49

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Oberstrich soll das abgeschlossene Intervall bedeuten. Ich meinte mit $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eigentlich das offene Intervall.

Das was du gemacht hast ist "im Prinzip" ja auch OK. Nur wie immer: Wenn du nichts dazu schreibst was hier was sein soll, dann ist es schlichtweg Unverständlich bzw falsch. Vor allen Dingen sagt der Mittelwertsatz zunächst nichts von einer Ungleichung.
Er sagt vielmehr so etwas wie: ...dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \zeta\in ??? \end{eqnarray*}$ so, dass ...

Aber eben, ohne Beschreibung ist jede Formel wertlos.

27.02.2011, 17:54

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay, der Oberstrich bedeutet: abgeschlossen.

Okay, ich muss mehr beschreiben.

Und wie kann man jetzt zeigen, dass es eine eindeutige Lösung auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt?

Hast Du auch da einen Tipp?

Hat es mit diesem Satz zu tun?:
"Es sei $\begin{eqnarray*} G=I\times\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit einem kompakten Intervall I, $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sei stetig und erfülle eine Lipschitzbedingung bzgl. der zweiten Komponente in G. Dann ist für jedes $\begin{eqnarray*} (t_0,y_0)\in G \end{eqnarray*}$ das AWP $\begin{eqnarray*} y'=f(t,y), y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ auf ganz I eindeutig lösbar."

27.02.2011, 18:27

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diesen Satz wirst du wohl nutzen müssen.

27.02.2011, 18:34

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das machen kann.

Erstaunt2

Erstaunt2

Also man kann ja $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als die Vereinigung von kompakten Intervallen schreiben. Und für jedes dieser kompakten Intervalle ist ja vielleicht der Satz anwendbar.

Ich denke mal, man muss jetzt $\begin{eqnarray*} \overline{U}\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten, gucken, ob die Voraussetzungen des Satzes gelten und dann alle diese $\begin{eqnarray*} \overline{U} \end{eqnarray*}$ vereinen.

27.02.2011, 19:15

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch eben bewiesen, dass für alle $\begin{eqnarray*} t_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ es zu einem beliebigen Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung (lokal) existiert [denn die rechte Seite erfüllt schliesslich überall eine Lipschitzbedingung].

Nun nimm $\begin{eqnarray*} t_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ fest und die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es also ein Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b)\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t_0\in(a,b) \end{eqnarray*}$ so, dass es eine eindeutige Lösung auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ gibt.
Sei nun $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ maximal, das heisst das Supremum aller Zahlen $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ derart, dass eine eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [t_0,s) \end{eqnarray*}$ existiert.
Nimm nun $\begin{eqnarray*} b<\infty \end{eqnarray*}$ an.

Aus obigem weisst du aber dass es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt so, dass die Gleichung eindeutig lösbar ist durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (b-\epsilon,b+\epsilon) \end{eqnarray*}$ [mit irgendwelchen Anfangsbedingungen].
Was folgt dann aber bzgl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (b-\epsilon,b) \end{eqnarray*}$ ?
Das liefert einen Widerspruch zur Wahl von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} b=\infty \end{eqnarray*}$ .

Ähnlich für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

27.02.2011, 19:21

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Du hast doch eben bewiesen, dass für alle $\begin{eqnarray*} t_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ es zu einem beliebigen Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung (lokal) existiert [denn die rechte Seite erfüllt schliesslich überall eine Lipschitzbedingung].

Aber doch nur eine lokale?

27.02.2011, 19:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Du hast doch eben bewiesen, dass für alle $\begin{eqnarray*} t_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ es zu einem beliebigen Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung (lokal) existiert [denn die rechte Seite erfüllt schliesslich überall eine Lipschitzbedingung].

Du meinst lokale Lipschitzbedingung?

Zitat:

Nun nimm $\begin{eqnarray*} t_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ fest und die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es also ein Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b)\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t_0\in(a,b) \end{eqnarray*}$ so, dass es eine eindeutige Lösung auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ gibt.

Sollen das offene Intervalle sein? Die eindeutigen Lösungen waren doch aber für kompakte Intervalle bewiesen, oder? Okay, die kompakten Intervalle denkst Du Dir wahrscheinlich als in den offenen enthalten.

Zitat:

Sei nun $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ maximal, das heisst das Supremum aller Zahlen $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ derart, dass eine eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [t_0,s) \end{eqnarray*}$ existiert.
Nimm nun $\begin{eqnarray*} b<\infty \end{eqnarray*}$ an.

Aus obigem weisst du aber dass es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt so, dass die Gleichung eindeutig lösbar ist durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (b-\epsilon,b+\epsilon) \end{eqnarray*}$ [mit irgendwelchen Anfangsbedingungen].
Was folgt dann aber bzgl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (b-\epsilon,b) \end{eqnarray*}$ ?

Weiß nicht genau, was Du meinst. Aber jedenfalls muss das Intervall über b hinaus gehen und deswegen kann b so nicht maximal sein.

Zitat:

Das liefert einen Widerspruch zur Wahl von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} b=\infty \end{eqnarray*}$ .

Ähnlich für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Vermutlich dann mit dem Infimum.

PS. Ich erkenne hier den obigen Satz irgendwie gar nicht wieder, wo bzw. wie hast Du ihn hier verwendet?

Was ist das $\begin{eqnarray*} I\times\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bei Dir?
Ist $\begin{eqnarray*} f:G\to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ stetig und erfüllt eine Lipschitzbedingung bezüglich der zweiten Komponente?

27.02.2011, 20:30

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Das spielt doch keine Rolle dass die Lipschitzbedingung nur lokal ist. Für jedes $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es eine offene Umgebung so, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dort Lipschitz ist. Picard-Lindelöf sichert dir dann die Existenz einer eindeutigen Lösung des AWP in einem kleinen Intervall $\begin{eqnarray*} (t-\epsilon,t+\epsilon) \end{eqnarray*}$ .
Beachte, hier ist das offene Intervall das Definitionsintervall der Lösung !
Und ganz genauso habe ich auch $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ gemeint.

Lokal um $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein Intervall auf dem eine eindeutige Lösung definiert ist. Und diese Lösung habe als maximales Definitionsgebiet eben $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ .
Keine Spur von Kompaktheit.

Na was passiert denn im Intervall $\begin{eqnarray*} (b-\epsilon,b) \end{eqnarray*}$ falls dort die beiden Lösungen in einem Punkt übereinstimmen sollten?

27.02.2011, 20:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmen y und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nicht dann überein - wegen der Eindeutigkeit kanns ja nur eine Lösung geben?

Du hattest mir ja gesagt, ich müsse den obigen Satz anwenden.
Aber wo ist der hier angewandt?

(Die Frage habe ich in meinem letzten Beitrag ganz am Ende gestellt, wenn Du die noch beantworten könntest? Ich denke, dann beende ichs hier mal. Aber das wüsste ich gern noch.)

28.02.2011, 08:09

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.

Na der Satz den du oben zitiert hast ist gerade Picard-Lindelöf. Ausserdem braucht man $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nur als Definitionsgebiet der rechten Seite. In deinem konkreten Fall kannst du das sowieso alles übersehen, denn die rechte Seite ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert und darin kannst du alle gearteten Intervalle finden die du brauchst.

28.02.2011, 09:42

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Satz war Picard-Lindelöf? Ich dachte, das wäre der globale Existenzsatz gewesen...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »