Eulersche Zahl mit Fakultät zeigen

29.11.2006, 19:35

Harald Kurse

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Eulersche Zahl mit Fakultät zeigen

Ich soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} = e \end{eqnarray*}$

muss also zeigen, dass für jedes Epsilon > 0 ein N existiert, so dass für alle n>N:

$\begin{eqnarray*} \mid\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}-e\mid < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wie kann ich mit dieser Zahl e rechnen?

29.11.2006, 19:46

Dual Space

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RE: Eulersche Zahl mit Fakultät zeigen
Wie habt ihr denn die Zahl e definiert?

29.11.2006, 20:04

Harald Kurse

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RE: Eulersche Zahl mit Fakultät zeigen
Die haben wir wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

aber das bringt mir auch nichts, denn folgendes ist ja falsch, nicht?

$\begin{eqnarray*} \mid\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}-(1+\frac{1}{n})^n\mid < \varepsilon \end{eqnarray*}$

29.11.2006, 20:28

Dual Space

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RE: Eulersche Zahl mit Fakultät zeigen
OK, habt ihr schon Talyorreihenentwicklung behandelt?

29.11.2006, 20:58

Harald Kurse

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RE: Eulersche Zahl mit Fakultät zeigen
Nein, noch gar nix in diese Richtung.

29.11.2006, 21:21

Mathespezialschüler

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Zunächst kannst du auf $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ den Binomischen Satz anwenden. Hilft dir das schon weiter?

Gruß MSS

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29.11.2006, 22:08

Harald Kurse

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Ja das hat mir ein paar Schritte weiter geholfen. Ich vermute ja, ich sei kurz vor dem Ende, nur seh ich die zündende Idee nicht. Was ich nun nach Umformung mit dem binomischen Satz habe:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{{n}^{n}} + \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{(n-1)\cdot... \cdot(n-k+1)}{k!\cdot n^{k-1} } \end{eqnarray*}$

Wenn ichs dann in die ursprüngliche Formel einsetze verschwindet der erste Summand und der zweite wird bei grossem N unbedeutend. Ich muss also zeigen, dass der dritte Summand beliebig nahe an der Fakultätsfolge ist, also:

$\begin{eqnarray*} \mid\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}}- \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{(n-1)\cdot... \cdot(n-k+1)}{k!\cdot n^{k-1} } \mid < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Aber wie schaff ich das?

Gruss Harald

29.11.2006, 22:35

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Harald Kurse
Wenn ichs dann in die ursprüngliche Formel einsetze verschwindet der erste Summand und der zweite wird bei grossem N unbedeutend.

Das mit dem zweiten Summanden würde ich so nicht machen! Das könnte man für den vorletzten Summanden der Summe auch noch machen und für den davor auch, aber man kann es nicht beliebig weit treiben, deswegen sollte man es gleich sein lassen.
Betrachten wir also folgendes (ich kürze das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal nicht):

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k!}-\sum_{k=1}^n~\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k}\right|=\left|\sum_{k=1}^n~\left(\frac{1}{k!}-\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k}\right)\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq\sum_{k=1}^n~\left|\frac{n^k-n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k}\right|=\sum_{k=1}^n~\frac{n^k-n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq\sum_{k=1}^n~\frac{n^k-(n-k+1)^k}{k!\cdot n^k}=\sum_{k=1}^n~\frac{1-\left(1-\frac{k-1}{n}\right)^k}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du mal versuchen, mit der Bernoullischen Ungleichung weiter zu kommen.
Falls du einen der Schritte nicht verstanden hast, einfach fragen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

30.11.2006, 11:12

Harald Kurse

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Tausend dank schon mal! Nach gründlichem Betrachten hab ich jeden Schritt kapiert. Das kann nach 8 Jahren Mathepause manchmal gut etwas länger dauern :-(

Ich krieg dann also folgendes:

$\begin{eqnarray*} \leq\sum_{k=1}^n~\frac{1-\left(1+\frac{k(1-k)}{n}\right)}{k!} =\frac{1}{n}+ \sum_{k=2}^n~ \frac{1}{n(k-2)!} \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich zeigen, dass das kleiner ist also folgendes, also:

$\begin{eqnarray*} <\sum_{k=1}^n~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

aber das bringt mir nix, da das = 1 ist und nicht = Epsilon ist.

30.11.2006, 11:25

AD

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Nein, etwas feiner musst du schon abschätzen, z.B. so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n ~ \frac{1}{(k-2)!} \leq \sum\limits_{k=2}^{\infty} ~ \frac{1}{(k-2)!} = \sum\limits_{m=0}^{\infty} ~ \frac{1}{m!} \end{eqnarray*}$

Was dort rechts steht, ist ja der gesuchte Ausdruck $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ . Hier nun brauchen wir aber lediglich die Konvergenz dieser Reihe, d.h., dass da ein endlicher Wert steht. Und das geht z.B. so

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^{\infty} ~ \frac{1}{m!} = 2+\sum\limits_{m=2}^{\infty} ~ \frac{1}{m!} \leq 2+\sum\limits_{m=2}^{\infty} ~ \frac{1}{2^{m-1}} = 3 \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 15:51

Harald Kurse

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Hmm, das seh ich jetzt nicht. Nur weil die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n ~ \frac{1}{(k-2)!} \end{eqnarray*}$

kleiner als eine Konstante ist, muss ja nicht die Summe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}+ \sum_{k=2}^n~ \frac{1}{n(k-2)!} \end{eqnarray*}$

kleiner als ein beliebiges Epsilon sein?

Abgesehen davon muss ich, um das zu zeigen, was du in der unteren Zeile geschrieben hast, folgendes beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=2}^{\infty} ~ \frac{1}{2^{m-1}} = 1 \end{eqnarray*}$

Und das wäre dann schon wieder ein Beweis für sich, weil ich nicht auf Formelsammlungen Bezug nehmen darf.

30.11.2006, 16:09

Mathespezialschüler

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Wie hast du denn da umgeformt??

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1-\left(1-\frac{k-1}{n}\right)^k}{k!}\leq \sum_{k=1}^n~\frac{1-\left(1-\frac{(k-1)k}{n}\right)}{k!}=\sum_{k=1}^n~\frac{\frac{(k-1)k}{n}}{k!}=0+\frac{1}{n}\cdot \sum_{k=2}^n~\frac{1}{(k-2)!} \end{eqnarray*}$ .

Hattet ihr denn die geometrische Reihe noch nicht?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

gilt für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

30.11.2006, 20:48

Harald Kurse

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Geometrische Reihen, nein, hatten wir noch nicht. Seh jetzt auch gerade den Bezug nicht.

Das Problem, das ich jetzt noch hab, ist: wie zeige ich, dass der zweite Faktor nicht grösser als eine Konstante ist. Wir haben mal bewiesen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}<3 \end{eqnarray*}$

ist. Das könnt ich jetzt verwenden und wäre dann fertig. Aber das gefällt mir nicht, jetzt wollt ich doch grad alles herleiten. Gibt es da keinen einfachen Weg?

30.11.2006, 20:58

Mathespezialschüler

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Wir sind ja jetzt bei

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum_{k=2}^n~\frac{1}{(k-2)!}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-2}~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Harald Kurse
Das Problem, das ich jetzt noch hab, ist: wie zeige ich, dass der zweite Faktor nicht grösser als eine Konstante ist. Wir haben mal bewiesen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}<3 \end{eqnarray*}$

ist. Das könnt ich jetzt verwenden und wäre dann fertig. Aber das gefällt mir nicht, jetzt wollt ich doch grad alles herleiten. Gibt es da keinen einfachen Weg?

Wieso gefällt dir das nicht und was heißt "jetzt wollt ich doch grad alles herleiten"? Ich finde den Weg sehr einfach. Es gibt auch wesentlich schwierigere (s. Taylorreihe etc.). Du kannst das ja jetzt einfach anwenden und dann bist du im Prinzip fertig.
Noch eine kleine Frage: Wie habt ihr denn diese Ungleichung bewiesen?

Gruß MSS

03.12.2006, 23:08

jönu

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^{\infty} ~ \frac{1}{m!} = 2+\sum\limits_{m=2}^{\infty} ~ \frac{1}{m!} \leq 2+\sum\limits_{m=2}^{\infty} ~ \frac{1}{2^{m-1}} = 3 \end{eqnarray*}$

woher weisst du, dass:

$\begin{eqnarray*} m! \geq 2^{m-1} \end{eqnarray*}$

und wie folgert ihr:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} < 3 \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty ~\frac{1}{k!} = e \end{eqnarray*}$

04.12.2006, 00:01

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} m!=\underbrace{m\cdot (m-1)\cdots 3\cdot 2}_{m-1\text{ Faktoren}}\geq \underbrace{2\cdot 2\cdots 2\cdot 2}_{m-1\text{ Faktoren}}=2^{m-1} \end{eqnarray*}$ .

Mit den Abschätzungen oben folgt doch:

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k!}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right|\leq \frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ .

Sei also $\begin{eqnarray*} a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ . Dann folgt daraus

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(s_n-a_n)=0 \end{eqnarray*}$ ,

also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}(a_n+(s_n-a_n))=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}(s_n-a_n)=\operatorname e+0=\operatorname e \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

04.12.2006, 20:26

jönu

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danke vielmals...

habe es zwar gester nicht mehr gesehen und darum die übung ohne diese aufgabe abgegeben, aber das wichtige ist ja, das ich sie jetzt verstanden habe.

gruss und bis zum nächsten mal

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