Schneiden sich die Geraden?

27.02.2011, 17:01

Medium

Schneiden sich die Geraden?

Hallo miteinander!

Aufgabenstellung:
[attach]18334[/attach]

Ansatz:
Ich denke um zu überprüfen, ob zwei Geraden sich schneiden, muss man die beiden Geradengleichungen gleichsetzen.

Demnach muss ich hier erst die beiden Geradengleichungen selbst bestimmen oder?

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end {pmatrix} + q * \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich diese Gleichung nur durch "rumprobieren" lösen oder kann man sowas auf mit dem Taschenrechner lösen?
Oder wie soll ich hier vorgehen?

Danke smile

27.02.2011, 17:35

pat`

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
die Geradengleichungen sind richtig und deine Ideen auch.
Schreib dir das Gleichungssystem doch richtig auf, und guck ob du gezielt eine Variable rausfallen kannst - dann kannst du zur anderen umstellen. Wenn sich beim Gleichungssystem ein Widerspruch ergibt, gibt es keinen Schnittpunkt.

Edit: Ist vermutlich ein Tippfehler, aber du solltest beim Gleichungssystem nicht beide Faktoren "p" nennen.

27.02.2011, 17:46

faktoren

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Faktoren müssen unterschiedlich sein!!!

27.02.2011, 17:55

Medium

Auf diesen Beitrag antworten »

Super Antwort, danke pat smile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end {pmatrix} + q * \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich subtrahiere den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$ und den Vektor $\begin{eqnarray*} p * \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end {pmatrix}= q * \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1q & 2r & 1 \\ -2q & -3r & -2 \\ 0q & 2r & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt muss ich versuchen Werte für q und r zu finden, oder?

Dankeschön nochmal smile

27.02.2011, 18:12

Medium

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1q & 2p & 1 \\ -2q & -3p & -2 \\ 0 & 2p & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

I. multiplizieren mit (-2)
I. + II.
Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1q & 2p & 1 \\ 0 & -5p & -4 \\ 0 & 2p & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

II. multiplizieren mit 2
III. multiplizieren mit 5
Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1q & 2p & 1 \\ 0 & -10p & -8 \\ 0 & 0 & -18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-10p = -8 | : (-10)
p = 0.8

-1q + 2*0.8 = 1
-1q + 1.6 = 1 | -1.6
-1q = -0.6 | : (-1)
q = 0.6

Ich vermute, dass ist falsch unglücklich

27.02.2011, 18:14

pat`

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir gerade nicht sicher, ob dein Weg auch möglich ist, aber ich würde es so lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end {pmatrix} + q * \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wird zu dem Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} 2 - 2p = 1-1q 2+ 2p = 4-3q 2p = 2q \end{eqnarray*}$

Aus der letzten Gleichung folgt schon mal, dass p=q.
Jetzt kannst du I+II rechnen:

$\begin{eqnarray*} I + II 4 = 5 - 4q |nach q umstellen q = 0,25 \end{eqnarray*}$

Nach Gleichung 1 müsste p dann 0,6225 sein, was Gleichung III widerspricht --> es gibt keinen Schnittpunkt

27.02.2011, 18:37

Medium

Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß ein Außenstehender wer nun richtig liegt?

Danke pat smile

27.02.2011, 20:30

Medium

Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, dann lasse ich die Aufgabe erstmal offen.

Im zweiten Aufgabenteil soll ich wieder bestimmen,
ob sich die Geraden schneiden, nur diesmal in Figur 2.

Ich bestimme wieder die Geradengleichungen:
Scheint aber etwas schwieriger zu sein, als eben. verwirrt

E(1.5|4|0)
F(0|4|1)

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end {pmatrix} + q * \begin{pmatrix} 1.5 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist soweit richtig.

Jetzt bin ich wieder an dem Punkt angelangt,
bei dem ich in der vorherigen Aufgabe nicht weiter gekommen bin.

Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen Gott

27.02.2011, 20:49

pat`

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Da F leider falsch bestimmt ist, gilt die untere Rechnung nur noch für das falsche F. Aber mit dem richtigem F ist es analog zu lösen

Die Ebenengleichungen sind wieder richtig.

Jetzt stellst du wieder das Gleichungssystem auf

$\begin{eqnarray*} 3 - 3p = 1,5q 4p = 4q 1p = 2-2q \end{eqnarray*}$

aus der zweiten Gleichung erkennt man wieder, dass p=q

jetzt kannst du zB die erste Gleichung mal $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ rechnen, und erhälst:

$\begin{eqnarray*} 4 - 4p = 2q \end{eqnarray*}$
Auf diese addierst du die zweite Gleichung:

$\begin{eqnarray*} I' + II 4 = 6q \end{eqnarray*}$
dass heißt $\begin{eqnarray*} q = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt weißt du, dass p=q=2/3

Das setzt du jetzt in alle Gleichungen ein, das ist gleichzeitig die Probe und Schnittpunktbestimmung.
Hier schneiden sich die Geraden, der Schnittpunkt ist $\begin{eqnarray*} S(1/2\frac{2}{3}/\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$

27.02.2011, 20:50

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Idee weiter verfolgen, das LGS unter Zuhilfenahme einer Matrix zu lösen, dann sollten wir aber erst einmal die Matrix richtig aufschreiben, das LGS ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 2 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kann man die erweiterte Matrix aufstellen und mit Gauß die Matrix auf Zeilenstufenform bringen.

Die zweite Aufgabe ist analog zu lösen.

Die Punkte hast du richtig bestimmt, ebenso die Geradengleichungen.

27.02.2011, 21:09

Medium

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Antworten Jungs smile

Also ist es F jetzt falsch oder richtig bestimmt?

Zitat:

Original von pat`
Da F leider falsch bestimmt ist, gilt die untere Rechnung nur noch für das falsche F.

Zitat:

Original von Igrizu
Die Punkte hast du richtig bestimmt, ebenso die Geradengleichungen.

Danke pat, ich konnte deinem Lösungsweg super folgen smile

27.02.2011, 21:10

pat`