Frage zu e-Funktionen und berechnen eines Extremums

27.02.2011, 17:08

1337Basti1337

Frage zu e-Funktionen und berechnen eines Extremums

Meine Frage:
Hallo liebes Mathe-Board!

Ich habe ein paar Fragen zu folgenden Aufgaben.. bitte gebt mir nur Denkansätze, da ich bald mein Abi in Mathe schreibe und selbst etwas draus lernen möchte. Ich frage euch deshalb hier, weil ich mit meinem Mathe-Latein am Ende bin.^^

1. Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(3x*x^{2})*e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ und die Punkte $\begin{eqnarray*} O (0/0) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} B (u/0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C (u/f(u)) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (0<u<3) \end{eqnarray*}$ . Diese sind Eckpunkte des Dreiecks OBC. Aufgabe: Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an!

2. Für jede positive Zahl a ist eine weitere Funktion $\begin{eqnarray*} f_{a}(x)=e^{x}*(x^{2}-a) \end{eqnarray*}$ gegeben. Die Menge aller Hochpunkte der Graphen $\begin{eqnarray*} G_{f_{a}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<-1 \end{eqnarray*}$ bilden eine Kurve $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Gleichung dieser Kurve!

3. Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitung $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ einer Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

[attach]18335[/attach]

(tut mir leid für die schlechte Qualität, aber ich darf kein Bild mit mehr als 293 KB hochladen...)
Die Funktion $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. [...] Geben Sie ein System von Gleichungen an, aus dem die Funktionsgleichung von $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ bestimmt werden kann!

Danke schonmal im vorraus. smile

Meine Ideen:
1. In einer Aufgabe davor sollte ich näherungsweise die Koordinaten des Punktes C berechnen. Dabei kam ich auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 2,25<u<2,5 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} C (2,25<u<2,5/f(2,25<u<2,5) \end{eqnarray*}$ . Nur wie ich den genauen Flächeninhalt ausrechnen kann, weiß ich leider nicht mehr.

2. Natürlich ist es hier möglich, jeweils alle Hochpunkte der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$ einzeln für $\begin{eqnarray*} a<-1 \end{eqnarray*}$ (also für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ , u.s.w. zu berechnen, aber dies würde die Zeit sprengen, und ich hätte dafür wahrscheinlich nicht genug Papier um es aufzuschreiben. Spätestens wenn ich die Gleichung der Kurve berechnen soll, hört es leider bei mir auf. (Ich habe gerade mithilfe eurer Funktion, Funktionsgraphen zu zeichnen herrausgefunden, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x} \end{eqnarray*}$ entsteht (wenn dies stimmt), ich weiß aber immer noch nicht, wie ich dies berechnen soll)

3. Hierzu habe ich überhaupt keine Ideen, da selbst die Funktion $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ nicht gegeben ist. Hätte man diese, könnte man vielleicht Extremstellen und Wendestellen berechnen und so die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ herleiten, bzw Aufleiten.

27.02.2011, 19:34

1337Basti13377

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Hat den keiner irgendeine Idee??? traurig

27.02.2011, 19:48

Bjoern1982

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Naja was erwartest du ?
Es fängt schon direkt damit an, dass bei deinem Funktionsterm in 1) etwas nicht stimmt.
Ansonsten brauchst du eben die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.
Hier liegt sogar ein spezielles Dreieck vor, was die Sache erheblich vereinfacht.
Insgesamt nennt man eine solche AUfgabe auch Extremwertaufgabe.

2) Bestimme zunächst allgemein den Hochpunkt für die gegebene Funktionenschar, dann sehen wir weiter.

3) Setze mit einer allgemeinen Funktion 3. Grades an und suche möglichst gut ablesbare Punkte.

27.02.2011, 20:27

13377Basti1337

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Was ist den bei 1. genau nicht richtig? allgemein ist immer ein rechter Winkel vorhanden, demnach ergibt sich die Formel $\begin{eqnarray*} A=u*f(u)*0,5 \end{eqnarray*}$ , soweit war ich auch schon. Aber nach diesem Verfahren kann ich nur durch probieren den größt möglichen Flächeninhalt berechnen, ich weiß aber noch ganz genau dass es einen anderen Weg gibt, den genauen Wert für u zu berechnen (wie du schon sagtest: Extremwertaufgaben), aber leider fehlt mir dazu der Ansatz, da ich leider in früheren Heftern nichts dazu fand.

Zu 2.:
$\begin{eqnarray*} f_{a}(x)=e^{x}*(x^{2}-a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{a}'(x)=u'v+uv' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x)=e^{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u'(x)=e^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=x^{2}-a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{a}'(x)=e^{x}*(x^{2}-a)+e^{x}2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{a}'(x)=e^{x}*(x^{2}+2x-a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=e^{x}*(x^{2}+2x-a) \end{eqnarray*}$ [latex|:e^{x}[/latex]
$\begin{eqnarray*} 0=x^{2}+2x-a \end{eqnarray*}$
Soweit alles richtig? Demnach wäre der Extrempunkt (Hochpunkt) kleiner, umso kleiner u ist (denke ich mal), jedoch exponential und nicht geradlinig, dann würde sich der verdacht dass die gesuchte Funktion $\begin{eqnarray*} K(x)=e^{x} \end{eqnarray*}$ ist ja schon fast bestätigen.

3. Der Denkansatz bringt mich auf jedenfall weiter aber nicht zum Ziel. verwirrt

27.02.2011, 22:03

Bjoern1982

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1) Was erhälst du denn für A'(u) und erkennst du wirklich nicht was in deinem Funktionsterm für f(x) nicht stimmt ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3x*x^{2})*e^{0,5x} \end{eqnarray*}$

2) Sieht soweit schonmal gut aus, nun löse $\begin{eqnarray*} 0=x^{2}+2x-a \end{eqnarray*}$ nach a auf und setze dies in $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ ein, damit hast du dann deine gesuchte Ortskurve. Jedoch kann auch hier etwas nicht stimmen denn zunächst steht da was von "Für jede positive Zahl a" und danach "Hochpunkte der Graphen $\begin{eqnarray*} G_{f_{a}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<-1 \end{eqnarray*}$ " und das passt ja irgendwie nicht verwirrt

3) Ich kann auch nur vermuten, aber in (4|0) scheint ja ein Tiefpunkt zu sein (x=4 ist doppelte Nullstelle) und auch in x=-5 scheint eine Nullstelle zu sein.
Zudem ist der Punkt P(0|8) gut ablesbar. Setze mit $\begin{eqnarray*} g'(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \end{eqnarray*}$ an, wobei x1,x2 und x3 die Nullstellen sein sollen. Durch einsetzen von P kommst du auch an die Unbekannte a.

28.02.2011, 00:14

137Basti137

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RE: Frage zu e-Funktionen und berechnen eines Extremums
1. Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} f(x)=(3x-x^{2})*e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ heißen, tut mir leid ein Schreibfehler.
Eine Ableitung einer Formel? Nunja, $\begin{eqnarray*} A(u)=u*(3u-u^{2})*e^{0,5u}*0,5 \end{eqnarray*}$ kann ich erstmal zu $\begin{eqnarray*} A(u)=(1,5u^{2}-0,5u^{3})*e^{0,5u} \end{eqnarray*}$ umstellen. Dann wäre $\begin{eqnarray*} A'(u)=(\frac{3}{8}u^{5}-\frac{15}{8}u^{4}+\frac{9}{4}u^{3})*e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ , wenn ich alles richtig gemacht habe.

2. Ich hab gerade bei einem Klassenkameraden nachgefragt, unser Mathe Lehrer hat sich verschrieben, es soll heißen

Zitat:

2. Für jede positive Zahl a ist eine weitere Funktion $\begin{eqnarray*} f_{a}(x)=e^{x}*(x^{2}-a) \end{eqnarray*}$ gegeben. Die Menge aller Hochpunkte der Graphen $\begin{eqnarray*} G_{f_{a}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>-1 \end{eqnarray*}$ bilden eine Kurve $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Gleichung dieser Kurve!

Also anstatt $\begin{eqnarray*} a<-1 \end{eqnarray*}$ nehmen wir $\begin{eqnarray*} a>-1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich nun nach a umstelle und dies in $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$ einsetze, komme ich auf $\begin{eqnarray*} f_{a}(x)=e^{x}*2x \end{eqnarray*}$ . Und dies ist nun die gesuchte Kurve K?

3. Wow, danke! smile

Ich komme nun auf $\begin{eqnarray*} g'(x)=0,1x^{3}-0,3x^{2}-2,4x+8 \end{eqnarray*}$ , und siehe da sie stimmt perfekt mit der Skizze überein! Big Laugh

[attach]18356[/attach]

EDIT von Calvin
LaTeX korrigiert und nachfolgenden Korrekturpost gelöscht

28.02.2011, 12:58

Bjoern1982

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1) A(u) stimmt aber in der Ableitung multiplizierst du glaube ich bestimmte Potenzen miteinander, anders kann ich mir nicht sowas wie $\begin{eqnarray*} u^5 \end{eqnarray*}$ erklären.

2) Schau nochmal aufs Vorzeichen, und schreib nur noch y statt $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$

3) Freut mich, dass du es hinbekommen hast Freude

Diese Darstellungsform nennt man übrigens Linearfaktordarstellung und erspart dir gegenüber dem Ansatz mit g'(x)=ax³+bx²+cx+d in diesem Fall erheblich viel Arbeit.

03.03.2011, 17:50

phage51

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Tut mir leid dass ich so lange nicht geantwortet habe, aber ich hab irgendwie keine Zeit gefunden.

1) Ich habe die Ableitung noch einmal überprüft, und komme auf $\begin{eqnarray*} A'(u)=(-\frac{1}{4}u^{3}-\frac{3}{4}u^{2}+3u)\cdot e^{0,5u} \end{eqnarray*}$ , aber ich weiß leider immer noch nicht, wie ich damit auf den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks kommen soll.

2) und 3) habe ich bereits fertiggestellt. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe! smile

03.03.2011, 20:07

Bjoern1982

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zu 1) Die Funktion A(u) gibt dir ja für jedes u einen bestimmten Flächeninhalt A an. Nun ist ja gerade der Wert für u gesucht, so dass der Flächeninhalt A maximal wird.
Deswegen musst du nun wie gewohnt die Funktion auf Extrempunkte untersuchen.
Also 1. Ableitung gleich null setzen, etc.

05.03.2011, 11:51

phage51

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Okay, ich habe jetzt alles raus bekommen.

Vielen Dank für deine netten und hilfreichen Ratschläge! smile

05.03.2011, 14:06

Bjoern1982

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Freut mich, dass du es hinbekommen hast. smile

Viel Erfolg weiterhin Wink

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