unverständliches Lemma

27.02.2011, 23:57	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
unverständliches Lemma Hallo zusammen ich habe ein kleines Lemma , in dem ich nicht durchblicke was er mir sagen möchte. Bis dahin habe ich das einfach übersprungen, aber das gibt mir irgendwie Gewissenbisse Lemma Es sei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0=k_{0} < k_{1}<k_{2}... \end{eqnarray}$ eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Setzen wir $\begin{eqnarray} b_{n}:=\sum\limits_{k=k_{n} }^{ k_{n+1} -1} a_{k}=a_{k_{n} }+ a_{k_{n+ 1} } + ...+ a_{k_{n+1}-1 } \end{eqnarray}$ so ist die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty b_{n} \end{eqnarray}$ konvergent und es gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}=\sum\limits_{n=0}^\infty b_{n} \end{eqnarray}$ . Es wird mir nicht ganz ersichtlich was mir dieses Lemma sagen möchte. Vielleicht kann das mir einer von euch näher erläutern und eventuell dazu noch ein kleines Beispiel zufügen mfg natural
28.02.2011, 00:21	pheips	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht für mich so aus, als würde die Reihe einfach in Teilsummen (die $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ ) aufgeteilt werden und dann in der neuen Reihe über diese Teilsummen addiert. Im Endeffekt hast du da 2 mal die gleiche Reihe stehen. Außerdem sind bestimmte "Teilergebnisse" ident. Beispielsweise: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{k_5-1} a_{n}=\sum\limits_{n=0}^4 b_{n} \end{eqnarray}$ Einfach mal ein paar Zahlen einsetzen und beobachten, was passiert. Dann sollte es verständlich sein.
28.02.2011, 01:07	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe, aber ich blicke noch nicht ganz in der Formel durch. Beispielsweise sei vorgegeben die Partialsumme $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^6 (-1)^n\frac{1}{n} =-1+ \frac{1}{2}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}- \frac{1}{5}+ \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ . Diese kann ich beispielsweise in zwei Teilsummen aufteilen und zwar einmal die Geraden und einmal in die Ungeraden. Wenn ich eine neue Reihe bilde und die beiden Teilsummen in dieser neuen Reihe aufsummiere, so erhalte ich offenbar das Selbe. Aber wie formalisiere ich das entsprechend. Ich steige noch nicht ganz so durch in der Formel und insbesondere nicht durch dieser Formel: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=k_{n}}^{k_{n+1} - 1} a_{k} \end{eqnarray*}$ mfg natural
28.02.2011, 01:15	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhhh sorry, In der Definition soll oben natürlich im ersten Satz konvergente Reihe da stehen und nicht konvergente Folge Ich hoffe man lässt sich nicht davon verwirren lassen, Aber die Frage steht nach wie vor
28.02.2011, 01:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr habt da kein Beispiel zu gemacht, oder?
28.02.2011, 01:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die A-Reihe: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} (0.5)^n = \frac{1}{1-0.5} = 2 \end{eqnarray}$ Die - Folge: $\begin{eqnarray} 0=k_{0} < k_{1}<k_{2}... \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k_0=i\cdot 3, i =0,1,2,... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_0=0, k_1=3, k_2=6,~k_3=9, ... \end{eqnarray}$ Die B-Reihe $\begin{eqnarray} b_{n}:=\sum\limits_{k=k_{n} }^{ k_{n+1} -1} a_{k}=a_{k_{n} }+ a_{k_{n+ 1} } + ...+ a_{k_{n+1}-1 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_0=\sum\limits_{k=k_{0} }^{ k_{1} -1} a_k = \sum\limits_{k=0 }^{2} a_k = a_0+a_1+a_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_1=\sum\limits_{k=k_{1}}^{ k_{2}-1} a_k = \sum\limits_{k=3}^{5} a_k = a_3+a_4+a_5 \end{eqnarray}$ So kannst du dir das vorstellen.
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28.02.2011, 09:12	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
@natural Kurz gesagt beinhaltet dieses Lemma die Aussage, dass du in einer konvergenten Reihe beliebíge Teilstücke "einklammern" kannst, d.h. zu neuen Reihengliedern deklarieren kannst, und das dann an Konvergenz und Reihenwert nichts ändert - Beispiel: $\begin{eqnarray} k_0=0,k_1=2,k_2=6,k_3=7,k_4=10,\ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underbrace{a_0+a_1}_{=:b_0} + \underbrace{a_2+a_3+a_4+a_5}_{=:b_1} + \underbrace{a_6}_{=:b_2} + \underbrace{a_7+a_8+a_9}_{=:b_3} + \ldots \end{eqnarray}$ Das bemerkenswerte an dieser Aussage ist, dass sie auch für "nur" konvergente, d.h. nicht absolut konvergente Reihen gilt. (Absolut konvergente Reihen kann man ja sowieso beliebig umordnen, was eine viel weitergehende Aussage als die "lokalen" Zusammenfassungen darstellt, um die es hier im Lemma geht.)
28.02.2011, 18:21	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte mich nocheinmal bedanken für eure freundliche Hilfe mfg natural

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