JNF bei Übergang zu Erweiterungskörpern

28.02.2011, 15:17	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
JNF bei Übergang zu Erweiterungskörpern Hallo, ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb Q^{10 \times 10} \end{eqnarray}$ gegeben mit char. polynom $\begin{eqnarray} \chi_A=(x-1)^4 (x+2)^6 \end{eqnarray}$ und Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu_A=(x-1)(x+2)^4 \end{eqnarray}$ , und möchte davon die möglichen JNF angeben. Das ist soweit auch kein problem, da alle nötigen Informationen dafür an den beiden Polynomen erkennbar sind. Nun stelle ich mir aber eine andere Frage: Was passiert, wenn ich diese Matrix nicht mehr in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , sondern in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ betrachte? In diesem sollte sich doch eigentlich gar nichts ändern, weil das char. Polynom bereits vollständig in Linearfaktoren vom Grad 1 zerfallen ist. Oder ändert sich doch etwas dabei? Wenn ich andererseits eine Matrix $\begin{eqnarray} B \in \mathbb Q^{10 \times 10} \end{eqnarray}$ gegeben habe mit $\begin{eqnarray} \chi_B=(x^2+1)^3 (x+1)^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu_B=(x^2+1) (x+1) \end{eqnarray}$ , dann dürfte in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ keine JNF der Matrix existieren, da $\begin{eqnarray} \chi_B \end{eqnarray}$ nicht vollständig in Linearfaktoren mit Grad 1 zerfällt, oder? Wenn ich die Matrix nun aber über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ betrachte, dann ist $\begin{eqnarray} (x^2+1)=(x+i)(x-i) \end{eqnarray}$ und somit existiert dann auch die JNF, und ich kann die möglichen JNF der Matrix angeben. Habe ich das so richtig verstanden? danke schonmal im voraus.
28.02.2011, 15:31	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles soweit korrekt. Wobei ich es immer relativ kritisch finde von der "Nichtexistenz" der JNF zu sprechen, weil man auch für irreduzible Polynome vom Grad größer 2 noch (mithilfe von Begleitmatrizen) Normalformen angeben kann, die man auch meist als JNF bezeichnet. Nichtsdestoweniger wird das in den meisten Veranstaltungen wie bei dir oben verwendet und daher stimmt das auch alles so.
28.02.2011, 15:37	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, danke für die antwort

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