Logarithmusfunktionen-Schreibweise

28.02.2011, 16:32

loser12

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Logarithmusfunktionen-Schreibweise

Meine Frage:
Hallo. Ich gucke mir gerade eine Funktion an, und überlege, wie man die richtig im Taschenrechner eingibt und worauf sich das ln bezieht. Kann mir da jemand ein Tipp geben?
Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} ft(x)=lnx(t-x) \end{eqnarray*}$
Wenn ich sie so im TR eingebe, kommt was anderes als wenn ich sie so, wie die da unten steht eingebe unglücklich

unglücklich

Unser Mathelehrer hat die Funktion so an die Tafel geschrieben:
$\begin{eqnarray*} ft(x)=ln(x*(t-x)) \end{eqnarray*}$

Bei der Funktion muss ich dann die Nullstellen ausrechnen, und die 2x ableiten. Das würd ich dann selber probieren und meinen Rechenweg schreiben. Wichtig wäre mir die Antowrt auf meine relativ blöde frage...

Meine Ideen:
Ich glaube, dass sich das ln auf alles was da hinten ist bezieht, aber kann man dann schreiben lnx * ln(x-t) ? Das ist dann auch schwer abzuleiten...

28.02.2011, 16:48

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
[QUOTE]Unser Mathelehrer hat die Funktion so an die Tafel geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=\ln(~x*(t-x)~) \end{eqnarray*}$

Mit gutem Grund. Deine Variante

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=\ln(x)~*~(t-x) \end{eqnarray*}$

ist eine andere Funktion.

28.02.2011, 19:38

loser12

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Joa, ich hab das auch festgestellt, aber so stand es auf dem Blatt. Diese Aufgabe habe ich im Internet gefunden:
Da ist der Link:

mathe-cd.de/4_Funktionen/46_LN/46100%20Uebersicht%20LN-Aufgaben.pdf

( Seite 6)
Deshlab hat mich das verwirrt. Bezieht sich das ln also auf alles?

28.02.2011, 20:27

loser12

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Dann schreib ich hier meinen Rechenweg für die Nullstellen und die 1.Ableitung:
$\begin{eqnarray*} ln(x*(t-x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln=0 \vee x*(t-x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-tx=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{t}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt etwas verkürzt, aber ist die 2 Zeile richtig, oder kann man ln nicht ausklammern?
Und wie untersucht man die ln-Funktionen auf Asymptoten? Ich kann das nur bei gebrochenrationalen Funktionen machen- zumindest mal weiß ich, das die Definitionslücken oft Asymptoten sind.

28.02.2011, 21:35

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
So weigere ich mich das zu lesen. Wo soll die erste Klammer ihr Ende finden?

01.03.2011, 18:42

loser12

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Ich habe eine Klammer vergessen.
Dann schreib ich das nochmal hin, diesmal vergesse ich auch die 1.Ableitung nicht.

$\begin{eqnarray*} ln(x*(t-x))=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln=0\vee x^2-tx=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t}{2} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig, d.h kann man ln ausklammern ???
Und hier kommt die 1.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} ft'(x)= \frac{-2x+t}{-x^2+tx} \end{eqnarray*}$

Ich habe das so abgeleitet, weil ich in meinem Buch ein Beispiel für eine Ableitung eines ln der Addition gefunden habe. Das Beispiel war:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ln(x^2+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Ist die Nullstelle und die 1.Ableitung richtig???

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01.03.2011, 19:32

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \ln\Bigl(x \cdot (t-x) \Bigr)=0 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du von da auf die Forderungen:

$\begin{eqnarray*} ln=0\vee x^2-tx=0 \end{eqnarray*}$

Und was soll ln=0 überhaupt heißen? unglücklich

unglücklich

01.03.2011, 19:38

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
ln (x(t-x))=0
$\begin{eqnarray*} =ln(tx-x^2) \end{eqnarray*}$

(x kann man mit (t-x) multiplizieren)
Und dann folgt:
$\begin{eqnarray*} ln=0 \vee -x^2+tx=0 \end{eqnarray*}$

Das war meine Überlegung. Ja gut, vllt. kann man nicht ln=0 schreiben, aber das sollte darauf hinweisen, dass man mit -x^2+tx weiterrechnet.
Ich gehe davon aus, dass ln ausgeklammert werden konnte

01.03.2011, 19:45

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Dann berechne mir

$\begin{eqnarray*} \ln\Bigl(x \cdot (t-x) \Bigr) \end{eqnarray*}$

mal bitte für x=0. Dann gilt ja auch x(t-x)=0.

01.03.2011, 19:53

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
für x=0 kommt ein mathematischer Fehler :/
Weil 0 nicht im Df steht.
Aber für andere Zahlen müsste es gehen.
Willst du mir sagen, dass meine Idee mit ln Ausklammern total daneben ist?

01.03.2011, 19:57

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Ich will damit sagen, dass du den ln hier einfach ignoriert hast. Es steht dort nicht

$\begin{eqnarray*} \Bigl(x \cdot (t-x) \Bigr)=0 \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \ln\Bigl(x \cdot (t-x) \Bigr)=0 \end{eqnarray*}$

und von der Logarithmusfunktion [f(x)=ln(x)] solltest du schon mal was gehört haben. Wo hat die denn ihre Nullstelle?!?

01.03.2011, 20:02

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Die normale funktion lnx hat die Nullstelle bei x=1.
Dann setzt man
ln(tx-x^2)=0
Kann man DAS machen?

01.03.2011, 20:03

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Ja. Aber wie muss es dann weiter gehen. Das ist das Entscheidende.

01.03.2011, 20:23

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Und das frag ich mich.
Das kann man nicht getrennt schreiben, wie z.B ln(a*b)= lna +lnb
Man kann vllt. die Umkehrfunktion anwenden, also exp.
Das wäre dann:
tx- x^2=1, da e^0 = 1 ergibt.
Ist das richtig?

01.03.2011, 20:26

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \ln\Bigl(x \cdot (t-x) \Bigr)=0~|~\exp() \end{eqnarray*}$

Nun folgt [Umkehrfunktion e] daraus doch

$\begin{eqnarray*} x \cdot (t-x)=1 \end{eqnarray*}$

Das kann man nun in der Optik einer quadr. Gleichung aufbereiten und lösen.

01.03.2011, 20:35

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Also, das konnte man machen.
Ja, dann wende ich die pq-formel an:
$\begin{eqnarray*} tx-x^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-tx=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-tx+1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1/2= \frac{t}{2}\pm \sqrt{(\frac{t}{2} )^2-1} \end{eqnarray*}$

Ist das bis dahin richtig?
Ich weiß jetzt nicht so genau, wie man das unter der Wurzel ausrechnet unglücklich

unglücklich

01.03.2011, 20:38

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Die Lösung hängt eben von t ab. Gibt es für jedes t eine Lösung?

01.03.2011, 21:24

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
ich denke schon. Die Funktion hat die Form eines Halbkreises.
t muss mindestens =2 sein, da sonst etwas negatives unter der Wurzel steht.
Muss man das also nicht weiterausrechnen?

Meine 2.Frage: Ist meine Ableitung richtig?
Ich würd dann morgen mich weiter mit der Funktion beschäftigen.
Wenn die Ableitung falsch ist, dann werde ich überlegen, wie sie lauten soll.
Vielen Dank für deine bisherige Hilfe smile

smile

01.03.2011, 21:34

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Du musst mehr darauf achten, was du sagst. Ich frage: Gibt es für jedes t eine Lösung. Du: Ja. Im nächsten Satz forderst du aber t mindestens 2. unglücklich

unglücklich

Also formuliere das nun neu.

Wo steht denn - nachdem wir geklärt hatten, wie f aussieht, deine Ableitung?

02.03.2011, 17:08

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Hallo.
Die 1.Ableitung sthet auf der 1.Seite ( der 6.Beitrag)
Es gibt nur für t>=2 eine Lösung ( zumindest mal bei den Nullstellen). Sonst hat die Funktion keine Nullstellen.
Ist das jetzt präziser formuliert?

03.03.2011, 02:37

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
$\begin{eqnarray*} f_1(x)=\ln(~x*(1-x)~) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x)=\ln(~x*(2-x)~) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_3(x)=\ln(~x*(3-x)~) \end{eqnarray*}$

Generell loht es, sich den Definitionsbereich aufzuschreiben. $\begin{eqnarray*} D_{f_t}=]0,t[ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=\ln(~x*(t-x)~) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_t(x)=\frac{1}{x*(t-x)} \cdot (-2x+t) \end{eqnarray*}$

03.03.2011, 21:34

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Kann man die Ableitung nicht so direkt schreiben?
Ist das also nicht bei Summen von ln?
Ich würde das auf alle Funktionen übertragen...

Zu den Nullstellen: Weil es abhängig von t ist, heißt das, dass man nicht definitiv sagen kann, ob die Funktion Nullstellen hat?
In diesem Fall also- rechnet man nicht weiter ?

03.03.2011, 21:35

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Verstehe nicht was du meinst.

03.03.2011, 21:52

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
bei f(x)= ln(x+2)
Ist die Ableitung
f'(x)= 1/x+2 ?

Bei f(x)= ln(x^3+4x)

ist f' 3x^2+4/ x^3+4x ?

Das sind die Summen eines ln's. f'(x)= Ableitung dessen, was in Klammern steht / ( geteilt ) durch das, was in Klammern der ursprungfunktion Funktion steht.

03.03.2011, 21:54

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Da steht doch keine summe, sondern ein Quotient. Und was du beschreibst, ist einfach die Kettenregel. Die wollte ich mit meiner Optik eben auch verdeutlichen.

03.03.2011, 21:56

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Achso smile

smile

Dann fällt ln dann auf jedem Fall weg?

03.03.2011, 21:58

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Ja.

Zitat:

Zu den Nullstellen: Weil es abhängig von t ist, heißt das, dass man nicht definitiv sagen kann, ob die Funktion Nullstellen hat?
In diesem Fall also- rechnet man nicht weiter ?

Wieso sollte man nicht weiter rechnen? Man gibt die Lösung eben mit Fallunterscheidung für t an.

03.03.2011, 22:10

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
ach ja, stimmt. Daran habe ich nicht gedacht.
Aber, dann schreibt man einfach
$\begin{eqnarray*} x=\frac{t}{2} \pm \sqrt{(t/2)^2-1} \end{eqnarray*}$

für t>2 , oder kann man noch weiterrechnen?

03.03.2011, 22:12

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Du kannst da auch aufhören.

03.03.2011, 22:15

loser12jgst.

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Ok
Vielen Dank smile

smile

03.03.2011, 22:15

tigerbine

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RE: Logarithmusfunktionen-Schreibweise
Gern geschehen. Wink

Wink

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