Eigenwerte Eigenvektoren Eigenraum

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chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte Eigenvektoren Eigenraum
Meine Frage:
Hallo,

ich hab folgende Matrix gegeben:

Ich muss ich die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.

Meine Ideen:
Eigenwerte sind:

Zu dem Eigenwert 0 soll der Eigenvektor sein:

Man berechnet doch den Eigenwert mit (A-lamda*E)?? Und durch gauß habe ich das hier:


Ich weiß leider nicht wie ich auf den Vektor u_1= (1,0,0) kommen soll.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht durch die erste zeile?


Da u_3=0 ist, kommt man auf (1,0,0) ??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich weiß leider nicht wie ich auf den Vektor u_1= (1,0,0) kommen soll.


Kannst Du nicht, weil es kein Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist. Wie bei vielen Bereichen der linearen Algebra, kann man auch hier schnell nachprüfen das obiger Vektor kein Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist. Wäre er einer , so müsste




gelten, was offensichtlich nicht der Fall ist.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Zitat:
Ich weiß leider nicht wie ich auf den Vektor u_1= (1,0,0) kommen soll.


Kannst Du nicht, weil es kein Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist. Wie bei vielen Bereichen der linearen Algebra, kann man auch hier schnell nachprüfen das obiger Vektor kein Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist.


Ich hab das Beispiel aus einem Buch und da steht drin, dass sich für lambda_1=0 der vektor u =(1,0,0) ergibt.

Und für lambda_2=1 ergibt sich der vektor (1,3,0) ??!!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich hab das Beispiel aus einem Buch und da steht drin, dass sich für lambda_1=0 der vektor u =(1,0,0) ergibt.


Auch Bücher irren sich. Hier handelt es sich sicher nur um einen Druckfehler. Denn der Vektor



ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 0. Wenn Du einfach mal die Definition des Eigenvektors bemüht hättest (statt dem Buch blind zu glauben), hättest Du gesehen, dass (1,0,0) kein Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist.

Zitat:
Und für lambda_2=1 ergibt sich der vektor (1,3,0) ??!!


Ja, dass ist korrekt.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Korrektur.
Aber Wie komme ich jetzt auf den Vektor (0,1,0) ?
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gleichungssystem



lösen. Erst z bestimmen, dann y, dann x.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

z=i

Erste Zeile: x+2i=0 >> x=-2i >>> y=0

??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
z=i


Das ist falsch! Wie kommst Du darauf ?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh sorry, nochmal:

z=0;

erste Zeile:

x=0;

Aber wie rechne ich y?
y=0?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wir wissen das z = 0 ist. Die zweite Gleichung lautet dann :



Welche komplexen Zahlen y erfüllen die Gleichung?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dieser Frage bin ich irgendwie überfordert. verwirrt
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

AHHHHH

y ist frei wählbar??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau, oder anders formuliert, jede komplexe Zahl erfüllt diese Gleichung. Daher führt man in so einem Fall einen Parameter ein. Nennen wir ihn a. Dann ist

chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

also kann ich auch allgemein schreiben

der vektor lautet (0,a,0) ??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für alle ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie siehts denn mit lambda_2=1 aus?



z=0
y=3x
x=1/3y

was ist hier frei wählbar? Kann ich mir das hier aussuchen? x oder y?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Es macht keinen Unterschied, ob Du x durch y oder y durch x ausdrückst.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Es macht keinen Unterschied, ob Du x durch y oder y durch x ausdrückst.


Also frei wählbar? vektor lautet (a,b,0) ??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dass ist falsch. x ist abhängig von y, oder y abhängig von x (je nach dem wie man will).
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh jetzt hab ich das verstanden, vielen Dank!! Freude
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