Integralrechnung Minimum/Maximum des Flächenmasses

29.11.2006, 20:46

truealex

Integralrechnung Minimum/Maximum des Flächenmasses

f(x)= (k/3)x^3-(k-1)x

Unter welcher Voraussetzung für welche k-Einsetzung nimmt das Flächenmass ein Minimum oder Maximum an?

bitte um Hilfe!

29.11.2006, 20:52

yeti777

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RE: Integralrechnung Minimum/Maximum des Flächenmasses
Das ist vorerst nur ein Polynom 3. Grades. Wie ist die Fläche denn definiert?

Gruss yeti

29.11.2006, 21:19

truealex

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wie soll die fläche definiert sein...da gibts keine information mehr...k soll so gewählt werden, dass einmal die eingegrenzte fläche zwischen den graphachsen und dem graphen ein maximum und ein anderes mal ein minimum erreicht..

Wink

29.11.2006, 23:19

truealex

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bitte hilfe brauche muss das für morgen unbedingt wissen...

ich glaube ich bin jetzt soweit dass ich das integral vereinfacht habe...es müsste

-(3k/4) - 9/2 + 3/4k rauskommen

wie bilde ich davon die erste ableitung...bin total doof geworden smile

thx

29.11.2006, 23:21

truealex

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ist das richtig dass die 1 ableitung

f´(x)=3/4x^(-2) - 3/4 lautet?

29.11.2006, 23:26

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sicherlich nicht. Wo ist dein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ geblieben? verwirrt

Was machst du da überhaupt?

29.11.2006, 23:31

truealex

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nach dem das integral verinefacht wurde...setzt man anstelle von "k" "x" ein
und rechnet dann weiter...halt 1 ableitung zur berechnung der extremstellen etc..

das müsste schon richtig sein...denk ich

29.11.2006, 23:37

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Wenn du $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ integrierst und wieder ableitest, dann erhälst du wieder $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ..

Edit: Ich bin gerade dabei meinen Beitrag zu editieren. Bitte warten.

29.11.2006, 23:43

truealex

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hier ist meine rechnung http://www.directupload.net/file/d/896/V83aUFZU_jpg.htm

29.11.2006, 23:47

truealex

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und hier gehts dann mit den ableitungen weiter

http://www.directupload.net/file/d/896/PBSkXonh_jpg.htm

ist das alles falsch?

29.11.2006, 23:49

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Edit: $\begin{eqnarray*} 0=\left|f(x_{0_2})-f(x_{0_1})\right|+\left|f(x_{0_3})-f(x_{0_2})\right| \end{eqnarray*}$ gibt dir die Extremstellen. Sorry. Mit Zunge

29.11.2006, 23:53

truealex

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die Nullstellen der funktion sind schon längst berechnet worden sonst würden nicht die grenzen beim integral stehen...das 0 und die wurzel aus [3(k-1)]/k beim integral zeichen....

30.11.2006, 00:01

truealex

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sagt mir leider nichts.... verwirrt

ist denn mein ansatz falsch? die ergebnisse müssen stimmen verdammt...ich sitze hier 4 stunden an diesem misst Hammer

30.11.2006, 00:05

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Naja, erstmal verstehe ich deine Stammfunktion nicht.

(die du noch nichmal als solche gekennzeichnet hast)

Außerdem: Wenn du die Stammfunktion ableitest, dann erhälst du doch wieder $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (die Ausgangsfunktion)

Und deine Ausgangsfunktion hat 3 Nullstellen.. wo hast du die denn bestimmt? Ich sehe bei deiner Kladde nicht durch. unglücklich

30.11.2006, 11:22

yeti777

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Hallo truealex!

Ich habe mir deine Aufgabe mal angesehen, sofern das heute überhaupt noch relevant ist.

Die k-Werte für die Extrema der Fläche unter dem Graphen lauten bei mir:
$\begin{eqnarray*} k= 1\Rightarrow A= 0\Rightarrow \text{Minimum} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k= -1\Rightarrow A= 6\Rightarrow \text{Maximum} \end{eqnarray*}$

Falls dich Details zum Lösungsweg interessieren, musst du dich nochmals melden.

Gruss yeti

30.11.2006, 11:42

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Ich interessier' mich dafür. smile

Ich hab's gerechnet, aber der Weg war echt lang (und ich hab' andere Lösungen)

30.11.2006, 12:44

yeti777

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@Zahlentheoirie: Seufz! Hab schon gedacht, dass es noch so kommt. Gut, ich werde es machen, aber nicht gleich jetzt, da ich weg muss. Versuche es heute Nachmittag.

Gruss yeti

30.11.2006, 12:52

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Ich bräuchte nur ein paar Sätze zu deiner Vorgehensweise. Keine Rechnungen! Danke schonmal.

30.11.2006, 13:38

Dlopoel

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Zwar keine Vorgehensweise, aber immerhin das Ergebnis:

Für die gesuchte Fläche $\begin{eqnarray*} A = A(k) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{3 (k-1)^2}{2 \, |k|} \, , \ \ k \in \left( - \infty \, , \, 0 \right) \ \cup \ \left( 1 \, , \, \infty \right) \end{eqnarray*}$

Minimum für $\begin{eqnarray*} k \in \left( - \infty \, , \, 0 \right) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} k = -1 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} k \in \left( 1 \, , \, \infty \right) \end{eqnarray*}$ existiert kein Extremum.

Für $\begin{eqnarray*} k \to 1 \end{eqnarray*}$ gilt zwar $\begin{eqnarray*} A \to 0 \end{eqnarray*}$ . Es ist aber nicht sinnvoll, die Flächenfunktion in $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ hinein fortzusetzen, da im Sinne der Aufgabe keine Fläche mehr existiert, die man berechnen könnte.

30.11.2006, 16:32

yeti777

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@Zahlentheorie:

1. $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{k}{3} x^3- (k - 1) x \end{eqnarray*}$ , Polynom 3. Grades

2. Nullstellen: $\begin{eqnarray*} f(x)= - \frac{\sqrt{3}\sqrt{k(k - 1)}}{k} ,0,+ \frac{\sqrt{3}\sqrt{k(k - 1)}}{k} \end{eqnarray*}$

3. Integrationsgrenzen: $\begin{eqnarray*} a= - \frac{\sqrt{3}\sqrt{k(k - 1)}}{k} , b= + \frac{\sqrt{3}\sqrt{k(k - 1)}}{k} \end{eqnarray*}$

4. Fläche: $\begin{eqnarray*} A(k)= \int_{a}^{0}~f(x)~dx - \int_{0}^{b}~f(x)~dx = \frac{3(k-1)^2}{2k} , k\neq 0 , k\leq 1 \end{eqnarray*}$

5. Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{dA}{dk} = \frac{3(k^2 - 1)}{2k^2} = 0\Rightarrow k_{1,2}= 1,- 1 \end{eqnarray*}$ (Wie macht man in LaTeX geschweifte Klammern {}???)

6. Für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich die kubische Parabel $\begin{eqnarray*} f_1(x) = \frac{x^3}{3} \end{eqnarray*}$ , die monoton steigend ist und im Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einen Wendepunkt hat. Für diese Funktion macht der Flächenbegriff keinen Sinn.
Für $\begin{eqnarray*} k = -1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} f_2 = - \frac{1}{3}x^3 + 2x \end{eqnarray*}$ , deren Graph mit der $\begin{eqnarray*} x- \end{eqnarray*}$ Achse die Fläche vom Betrag $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ einschliesst.

Gruss yeti

30.11.2006, 17:17

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Danke, jetzt verstehe ich auch, warum du 2 Lösungen hast. Bei mir beträgt der Flächeninhalt jetzt: $\begin{eqnarray*} A=\frac{3\cdot{\left|k-1\right|^2}}{2\cdot{|k|}} \end{eqnarray*}$ .

Danke. Tanzen

30.11.2006, 17:38

yeti777

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OK, aber beachte bitte, dass für $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ keine Fläche mehr existiert, weil die Funktion dann die x-Achse nur im Nullpunkt schneidet.

Ich möchte gern einen Graph des Funktionenplotters hierher kopieren, weiss aber nicht, wie man das macht. Weisst du es?

Gruss yeti

30.11.2006, 17:41

Mathespezialschüler

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Guck mal da. Augenzwinkern

Gruß MSS

30.11.2006, 17:44

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Edit 92182092121: Hier mal für $\begin{eqnarray*} k=-2 \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 18:09

Dlopoel

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Zitat:

Original von yeti777
OK, aber beachte bitte, dass für $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ keine Fläche mehr existiert, weil die Funktion dann die x-Achse nur im Nullpunkt schneidet.

So ganz stimmt das wohl nicht. Sinnvoll scheint mir der oben angegebene Bereich

$\begin{eqnarray*} k \in \left( -\infty \, , \, 0 \right) \ \cup \ \left( 1 \, , \, \infty \right) \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 18:16

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Genau das habe ich auch. Aber eben nach Gespür. Bzw. durch Einsetzen rausgekriegt. Nun meine Frage:

Wie berechnet man eigtl. den Bereich einer Funktion in der nur eine (es kann auch eine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -fache sein) Nullstelle vorliegt?

30.11.2006, 18:31

yeti777

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@MSS: Ich sehe deinen Anhang nicht, auch nicht alle anderen. Ich weiss nicht, woran es liegt. Eine entsprechende Frage habe ich vor ein paar Tagen im Off-Topic deponiert. Ich wäre ausserordentlich froh, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Habe IE7, Firewall Zone Alarm. Liegt es an den Einstellungen?

@Dlopoel:

Zitat:

Original von Dlopoel

Zitat:

Original von yeti777
OK, aber beachte bitte, dass für $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ keine Fläche mehr existiert, weil die Funktion dann die x-Achse nur im Nullpunkt schneidet.

So ganz stimmt das wohl nicht. Sinnvoll scheint mir der oben angegebene Bereich

$\begin{eqnarray*} k \in \left( -\infty \, , \, 0 \right) \ \cup \ \left( 1 \, , \, \infty \right) \end{eqnarray*}$

Voll einverstanden! Bin noch einmal über die Bücher.

@Zahlentheorie: Schöne Grafik. Aber sag mir doch bitte, wie du das gemacht hast.

Gruss yeti

30.11.2006, 19:01

Mathespezialschüler

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Hab von diesen Programmen sowieso keine Ahnung, also kann ich dir nur zum Plotter-Button helfen. Rechts neben dem Latex-Button mit dem $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ drauf ist ein Button, auf dem ein Graph in einem Koordinatensystem zu sehen ist. Klick mal da rauf, der Rest sollte selbsterklärend sein.

Zitat:

Original von yeti777
Wie macht man in LaTeX geschweifte Klammern {}???

"\{x\}" ergibt $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Gruß MSS

30.11.2006, 19:29

yeti777

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@MSS: Herzlichen Than $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ !!!

Es haut, juhuu smile

!

Gruss yeti und Tschüss!

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