Diagonalisierung einer Matrix |
| 28.02.2011, 19:59 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Diagonalisierung einer Matrix Ich hab eine Frage zur Diagonalisierung von Matrizen. Ganz einfach was bringt mir das ganze??? Ich habe die Matrix (wohl einer Abbildung), ich habe die Eigenvektoren bestimmt ich habe die Matrix S und ihre Inverse (so dass: S^-1AS diagonal wird) bestimmt. Und nun??? Das ist ganz schön viel Arbeit für das das ich nicht weiß was es mir bringt. Meine Ideen: Bei Darstellungsmatrizen bezüglich bestimmter Basen bekomme ich ja durch die Matrix die Veränderung der Koordinaten bezüglich der Basen. Vielleicht geht es in die Richtung... Aber was multipliziere ich dann mit der Diagonalenmatrix??? danke schonmal!!1 |
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| 28.02.2011, 21:43 | amu31 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo. Der Hauptgrund ist folgender: Man (d.h. vor allem der Rechner) kann viel schneller und effizienter mit Diagonalmatrizen rechnen. Das ist unmittelbar einleuchtend, denn wenn du eine Diagonalmatrix potenzierst oder zwei Diagonalmatrizen multiplizierst, dann erhältst du wieder eine Diagonalmatrix, d.h. es fallen sehr viele Einträge weg. "Verwandte" von Diagonalmatrizen sind die sog. Bandmatrizen (die du in Numerik kennenlernen wirst). Bei denen sind Diagonale und eine gewises Anzahl an Nebendiagonalen besetzt, der Rest ist null. Man will halt so wenig Speicherplatz wie möglich verwenden, da Speicherplatz teuer ist. Du siehst also, es läuft alles aufs Geld hinaus. Im Übrigen soll man nicht immer nach dem Nutzen der Dinge in der Mathematik fragen. Klar, Lineare Algebra ist ein sehr sehr wichtiges Teilgebiet der Mathematik, von dem auch andere Wissenschaften stark profitieren und daher gibt es vielfältige Anwendungsmöglichkeiten der Linearen Algebra und es macht noch Sinn, nach dem Nutzen der Objekte zu fragen - wie du es tust. Aber später in der abstrakten Algebra z. B. wirst du viele Dinge lernen, die keine Verwendung finden in der alltäglichen Welt und daher erübrigt sich die Frage nach dem Sinn und Nutzen der jeweiligen Objekte. |
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| 01.03.2011, 03:25 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ferner kannst Du anhand Diagonalmatrizen feststellen, ob eine die "Matrix hoch n" konvergiert, wenn n gegen unendlich geht. Bei stochastischen Matrizen, die z.B. eine Wanderung darstellen, ist dies eine essentielle Erkenntnis. Beispiel: 40% Marktanteil Anbieter A, 60% Anbieter B. Jeden Monat wandern 30% der Kunden von A zu B und 60% von B zu A. Frage: Stellt sich ein Gleichgewicht ein und wenn ja welches? Antwort: Diagonalmatrix erstellen und ausrechnen. Stochastische Matrizen sind nicht nur in solchen Phantasieaufgaben relevant, sondern damit kann man in den Naturwissenschaften wirkliche Phänomene beschreiben. Anhand von Diagonalmatrizen kann man z.B. auch einen geschlossenen Ausdruck für eine Fibonaccifolge finden. Aber wie gesagt: In der Mathematik geht es nicht um Anwendungen für's tägliche Leben. |
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| 01.03.2011, 09:10 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey danke für Eure Anworten, dass die Rechnerei mit den Diagonalmatrizen sehr viel schneller und einfacher ist war mit bereits klar. Mein Problem bestand eher darin, dass ich nicht weiß wie ich meine Diagonalmatrix anwenden kann. Wenn ich das Bild eines Vektors als v also f(v) bestimmen möchte, kann ich entweder die Funktionsvorschrift ausführen, oder ich stelle diesen Vektor durch die Basis des Raums dar, bekomme so die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis, diese als Vektor aufgefasst und die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis von Links dran multipliziert gibt mir die Koordinaten von f(v) bezüglich meiner Basis. So kann ich leicht das Bild von v also f(v) durch die Basis darstellen und bestimmen. Wenn ich nun die Eigenvektoren der Matrix als Basis wähle, bekomme ich eine Darstellungsmatrix in Diagonalform. Wenn ich dann aber meine Koordinaten mit dieser Diagonalmatrix transformiere kommt da Quatsch raus. Mache beim Rechnen einen Fehler?? Oder liegt dieser bereist im Verständnis??? danke |
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| 01.03.2011, 10:30 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß nun auch, dass wenn ich ein S und S^-1 bestimmt habe, sodass S^-1AS diagonal wird folgendes gilt: 1: Durch die Multiplikation von S^-1 mit den Koordinaten (bezüglich der Standardbasis) eines Vektors bekomme ich die Koordinaten des Vektors bezüglich meiner Basis die aus den Eigenvektoren besteht. 2: Umgekehrt erhalte ich durch Multiplikation von S mit den Koordinaten (bezüglich der Eigenvektorbasis) die Koordinaten des Vektors bezüglich der Standardbasis. Aber ich interessiere mich ja nicht nur für diese Basiswechsel, ich will ja die Bilder meines Vektors bestimmen. Dies kann ich ja durch die Multiplikation mit der Matrix der die Standardbasis zugrunde liegt tun. Av=f(v).. Inwiefern vereinfacht mir diese Rechnerei und die Bestimmung meiner Diagonalmatrix und der Basistransformationsmatrizen diese Berechnung von v zu f(v)????? hoffe ich konnte mein Problem klar genug schildern.... danke nochmals für die Hilfe |
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