Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

28.02.2011, 20:28

KnightofCydonia

Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Meine Frage:
Ich möchte bis auf Isomorphie alle abelschen Gruppen der Ordnung 100 bestimmen und dafür den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen anwenden, den ich nicht ganz verstanden habe.

Meine Ideen:
Also zuerst zerlege ich 100 in Primfaktoren: $\begin{eqnarray*} 100=2^2\cdot5^2 \end{eqnarray*}$
Mein erstes Problem ist nun zu bestimmen, wie viele Faktoren mein direktes Produkt höchstens haben wird. Ich fange einmal mit einem an:
das ergäbe die abelsche Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/100\mathbb Z \end{eqnarray*}$
Habe ich zwei Faktoren, würde sich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/50\mathbb Z \end{eqnarray*}$ anbieten.
Aber was gibt es noch für Möglichkeiten? $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5\mathbb Z\times\mathbb Z/20\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?
Gibt es nun noch eine abelsche Gruppe die ein direktes Produkt 3er zyklischer Untergruppen sind? - Ich vermute nicht, da in der Primfaktorzerlegung 2 die höchste Potenz ist, oder hat das damit nichts zutun?

28.02.2011, 20:38

flame

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Hallo,

bedenke, dass nur $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / c \mathbb Z \cong \mathbb Z / a \mathbb Z \times \mathbb Z / b \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt, wenn $\begin{eqnarray*} a\cdot b = c \end{eqnarray*}$ und zugleich $\begin{eqnarray*} (a,b)=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Es gilt also beispielsweise $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 14 \mathbb Z = \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 7 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , aber auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 12 \mathbb Z \neq \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 6 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

28.02.2011, 22:01

Mystic

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RE: Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Zitat:

Original von KnightofCydonia
Gibt es nun noch eine abelsche Gruppe die ein direktes Produkt 3er zyklischer Untergruppen sind? - Ich vermute nicht, da in der Primfaktorzerlegung 2 die höchste Potenz ist, oder hat das damit nichts zutun?

Ja, das hast du intuitiv schon richtig erkannt...

Im Prinzip ist die Sache so, dass du für eine abelsche Gruppe G mit n Elementen alle Teilerketten

$\begin{eqnarray*} n_1|n_2|\ldots |n_k \end{eqnarray*}$

bestehend aus natürlichen Zahlen >1 finden musst, sodass

$\begin{eqnarray*} n=n_1 n_2 \ldots n_k \end{eqnarray*}$

gilt, wobei hier die Anzahl k der Faktoren variabel ist... Für jede solche Teilerkette ist dann

$\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{n_2} \times \ldots \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{n_k} \end{eqnarray*}$

eine abelsche Gruppe mit n Elementen, und man erhält so alle diese Gruppen und jede bis auf Isomorphie genau einmal...

Soweit ich das überblicke, hast du für n=100 eh schon 3 der insgesamt 4 Möglichkeiten angegeben, aber eine noch übersehen, nämlich welche?

01.03.2011, 16:18

KnightofCydonia

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4\mathbb Z\times\mathbb Z/25\mathbb Z \end{eqnarray*}$ würde dann noch fehlen...Danke für die rasche Hilfe!
Damit ich sehe, ob ich das jetzt wirklich verstanden habe bestimme ich jetzt noch die abelschen Gruppen der Ordnung 108.
Primfaktorzerlegung: $\begin{eqnarray*} 108=2^2\cdot3^3 \end{eqnarray*}$

Damit ergeben sich die Gruppen
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/108\mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/54\mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/36\mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/6\mathbb Z\times\mathbb Z/18\mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/6\mathbb Z\times\mathbb Z/6\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Habe nun extra 108 so gewählt, dass ich in der Primfaktorzerlegung eine Potenz größer 2 habe. Stimmt das so? Kann ich im Vorhinein schon sagen, wie viele - eben bis auf Isomorphie - verschiedene Gruppen ich erhalten werde oder kann man nur herumprobieren?

01.03.2011, 16:40

Mystic

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Zitat:

Original von KnightofCydonia
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4\mathbb Z\times\mathbb Z/25\mathbb Z \end{eqnarray*}$ würde dann noch fehlen...

Falsch, denn 4 ist ja nicht Teiler von 25... Es fehlt also ein anderer Fall...

Auch für n=108 fehlt noch genau ein Fall...

01.03.2011, 16:58

KnightofCydonia

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uups, weiß nicht wie das passieren konnte, war wohl ein Flüchtigkeitsfehler... $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/10\mathbb Z\times\mathbb Z/10\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ginge sich noch aus....

und für n=108 würde mir nur mehr einfallen die Reihenfolge im 3er Produkt zu ändern, aber das wäre ja dann eine isomorphe Gruppe, oder?

01.03.2011, 17:00

KnightofCydonia

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/12\mathbb Z \end{eqnarray*}$

01.03.2011, 17:05

KnightofCydonia

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hmmm..aber gibt es nun wirklich keine Möglichkeit im Vorhinein schon sagen zu können wie viele Gruppen es geben muss? Damit ich eben nie eine vergesse bzw übersehe...? Oder eben einen genauen Weg nachdem man hier vorgehen muss, ohne nur herumprobieren zu können...

01.03.2011, 17:32

Mystic

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Zitat:

Original von KnightofCydonia
hmmm..aber gibt es nun wirklich keine Möglichkeit im Vorhinein schon sagen zu können wie viele Gruppen es geben muss? Damit ich eben nie eine vergesse bzw übersehe...? Oder eben einen genauen Weg nachdem man hier vorgehen muss, ohne nur herumprobieren zu können...

Naja, der allgemeine Fall ist jetzt sicher nicht so einfach, aber die von dir betrachteten Fälle sind es noch...

Im Fall $\begin{eqnarray*} n=p^2q^2 \end{eqnarray*}$ musst du dir einfach überlegen, auf wieviele Arten du 2, also den Exponenten von p und q, als Summe von positiven ganzen Zahlen schreiben kannst... Das ist auf 2 Arten möglich, nämlich 2=2 und 2=1+1... Insgesamt sind es daher 4 (=2 x 2) Möglichkeiten...

Ähnlich einfach geht es bei $\begin{eqnarray*} n=p^3q^2 \end{eqnarray*}$ wo für 3 die additiven Zerlegungen 3 =3 = 1+2=1+1+1 und für 2 wieder 2=2=1+1 bestehen, womit sich insgesamt 6 (=2 x 3) Möglichkeiten ergeben...

01.03.2011, 18:10

KnightofCydonia

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Ah, ok danke, verstehe! Das wird wohl schon die in den Übungsbeispielen am häufigsten vorkommende Form der Primfaktorenzerlegung sein. Damit ist mir schon sehr geholfen.

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