Vektorrechnung: Innenwinkel im Dreieck

28.02.2011, 22:28

Mathe+Bio

Vektorrechnung: Innenwinkel im Dreieck

Nabend Leute,

ich bin derzeit ein bisschen am verzweifeln, da mich die Lösungen zur Aufgabe nicht mögen (a.k.a. ich bekomme andere Ergebnisse raus Big Laugh

).

Die Aufgabe lautet:

Zitat:

Gegen ist ein Dreieck ABC mit A(1;1;1), B(-3;1;4) & C(0;4;3).
Berechne die Größe der Innenwinkel.

D.h. man muss Alpha, Beta & Gamma ausrechnen - bis hierhin alles okay. Big Laugh

Ich habe jetzt mal versucht Alpha auszurechen & laut Lösungen soll Alpha 57,7 Grad sein.

Meine Rechnung lautet wiefolgt:

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}<br /> \vec{AC} = \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun das Skalarprodukt der beiden Vektoren: $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot \vec{b} = -4\cdot (-1)+0\cdot 3+3\cdot 2 = 10 \end{eqnarray*}$

Als letztes noch die Beträge der beiden Vektoren: $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| = \sqrt{(-4)^{2}+0^{2}+3^{2}} = \sqrt{25}<br /> |\vec{b}| = \sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+2^{2}} = \sqrt{14} \end{eqnarray*}$

Vorarbeit ist somit getan & nun geht's in Lösung... $\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{10}{\sqrt{25}\cdot \sqrt{14}} \end{eqnarray*}$
Als Endergebnis bekomme ich dann geliefert: $\begin{eqnarray*} \alpha = 64,1^{o} \end{eqnarray*}$
(Das "Hoch-o" soll die Grad markieren... Big Laugh

)

Also... wo hat sich hier der entscheidene Fehler eingeschlichen?
Vielen Dank für jede Hilfe. smile

28.02.2011, 22:31

partyleute

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Jags noml durch den Taschenrechner!
Bei mir kommt so das richtige raus. Vielleicht eine falsche Einstellung des TR.

28.02.2011, 22:32

Mathe+Bio

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Nope.
TR ist ganz normal auf Comp (also normal) eingestellt... Ergebnis bleibt. unglücklich

28.02.2011, 22:37

partyleute

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$\begin{eqnarray*} \alpha=arccos(\frac{10}{\sqrt{25\cdot 14}}) \approx arccos(0,5345)\approx 57,7^{\circ} \end{eqnarray*}$

Vll. hast du da einen Fehler gemacht??

28.02.2011, 22:39

Mathe+Bio

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Das wundert mich jetzt aber echt...

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{10}{\sqrt{25}\cdot \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{7} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann "umdrehe", also um die genaue Gradzahl zu erhalten, $\begin{eqnarray*} cos^{-1} \approx 64,1^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Bleibt... egal was ich da eintippe?!

28.02.2011, 22:43

partyleute

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Ich sag ja, dass etwas mit deinem TR nicht stimmt. Wenn der Arcuscosinus von ca. 0,53 64,1° beträgt, kannst du entweder nicht eintippen(was ich nicht glabue) oder dein TR ist kaputt.

28.02.2011, 22:47

Mathe+Bio

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Okay, ich gucke jetzt einfach nochmal kurz in die Bedienungsanleitung - mal gucken was die so sagt.

Freut mich aber wenigstens, dass die Schritte korrekt waren. Big Laugh

Eine weitere Frage noch: Wenn ich später, wenn der TR wieder funktioniert Big Laugh

, Beta & Gamma ausrechnen muss, mach ich das doch am Ende nicht mit $\begin{eqnarray*} cos^{-1} \end{eqnarray*}$ , sondern mit Sinus & Tangens, oder?
Wenn ja, bei welchem Winkel muss ich denn mit was "berechnen"?

Vielen Dank jedenfalls. smile

28.02.2011, 22:49

mathe15965

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hallo

ich denk mir mal das mathe+bio den taschenrechner auf gra stehen hat und partyleute auf deg.

ja stimmt habt recht habs geändert.

28.02.2011, 22:49

partleute

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Normalerweise rechnest du den 2. noch mit cos^-1 aus und dann den dritten halt über Winkelsumme=180°. So mach das ich jedenfalls immer. Vll. gibts da ne coole Lösung aber so wie ich es mach passts eigentlich. Beachte: Es handelt sich hierbei nicht um ein rechtwinkliges Dreieck!

28.02.2011, 22:50

Mathe+Bio

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Zitat:

Original von mathe15965
hallo

ich denk mir mal das mathe+bio den taschenrechner auf deg stehen hat und partyleute auf gra.

Genau umgekehrt anscheinend.
Ich hatte den TR die ganze Zeit wohl auf G stehen - kA warum.

Habe das Ding mal resettet, steht jetzt wieder auf D, und nun klappt es endlich auch normal. smile

28.02.2011, 22:50

leutemachtparty

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Zitat:

Original von mathe15965
hallo

ich denk mir mal das mathe+bio den taschenrechner auf deg stehen hat und partyleute auf gra.

Ich denke genau anders herum!

mathe + bio hat seinen TR auf gra! Jetzt wissen wir an was es gelegen hat!

28.02.2011, 22:51

Mathe+Bio

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Zitat:

Original von partleute
Normalerweise rechnest du den 2. noch mit cos^-1 aus und dann den dritten halt über Winkelsumme=180°.

Okay, gut - werde ich dann wohl auch so machen. ^^

Zitat:

Original von partleuteBeachte: Es handelt sich hierbei nicht um ein rechtwinkliges Dreieck!

Das ist mir schon bewusst. Augenzwinkern

28.02.2011, 22:53

Mathe+Bio

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Zitat:

Original von leutemachtpartymathe + bio hat seinen TR auf gra! Jetzt wissen wir an was es gelegen hat!

Jop.
Ich weiß aber auch nicht wie das passiert sein soll, denn bewusst habe ich das 100%ig nicht gemacht.
Schließlich kenne ich ja noch nichtmal den Unterschied. Big Laugh

Danke jedenfalls nochmal an Euch alle - eine dumme Einstellung...
(In der Klausur wäre das wohl böse ausgegangen... -.-)

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