Permutationsmatrix

28.02.2011, 23:33	Thomas32	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationsmatrix Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei der "Herstellung" einer Permutationsmatrix. Ich habe das Gleichungssystem Ax=b, mit: $\begin{eqnarray} <br /> A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 4 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} <br /> <br /> und <br /> <br /> b = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Jetzt soll mit der LR-Zerlegung die Permutationsmatrix so rauskommen, dass P = (0 0 1; 1 0 0; 0 1 0) Dazu wird das Schema mit der Identitätsmatrix aufgestellt und dann die Zeile 3 mit der Zeile 1 vertauscht: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Davor steht jedoch das: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Jetzt steht vor der 2. Zeile eine "2" und was diese bedeutet, verstehe ich nicht, nun wird aus der Matrix A: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Im letzten Schritt werden noch die Zeilen 2 und 3 getauscht und man hat links die gewünschte Permutationsmatrix und rechts die Matrix $\begin{eqnarray} <br /> <br /> A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Woraus man jetzt die Matrizen L und R ablesen kann. Könnt ihr mir den Schritt mit der "2" erklären, ich denke die 2 vorne wird hingeschrieben, wie beim LR Alg. üblich aber wieso kommt man auf 0 und -1? Ich danke schon mal, tom
28.02.2011, 23:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationsmatrix Deine Permutationsmatrix ist gar nicht regulär. Es sollen bei dir Zeile 1 und Zeile 3 vertauscht werden, um die 0 auf (1,1) weg zu bekommen. $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 4 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man multipliziert mit P von Links an A. Wie muss P aussehen?
28.02.2011, 23:47	Thomas32	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, die Permutationsmatrix hat in der 3. Zeile natürlich 1, 0, 0. Dass die Zeilen vertauscht werden müssen, sehe ich schon ein, mein Problem ist, wie ich fortfahren muss bzw. wie die einzelnen Matrixelemente "befüllt" werden. Ich kenne es nur so, dass man "vorne" reinschreibt, mit welchem Wert durchmultipliziert wurde, man aber ansonsten den normalen Gauss-Algorithmus macht, und hier sehe ich die Analogie nicht.
28.02.2011, 23:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe deine Frage nicht. Was willst du ausfüllen? P wurde doch gerade so konstruiert, dass PA aus A durch Zeilenvertauschen entsteht. Entsprechend müssen auch die Einträge in b vertauscht werden. Damit kannst du nun einen Durchlauf des Gausßalgo (mit Pivotisierung) machen. Dann muss wieder Pivot auf 0 geprüft werden. [WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - Beispiele
01.03.2011, 00:11	Thomas32	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kanns nicht besser ausdrücken, als: "Wieso sieht die zweite Zeile der Matrix A nach der ersten Umformung so aus" 2 0 -1 Das ist mein Hauptproblem. Wenn ich die 2. Zeile mit 2 durchmultipliziere und von der ersten abziehe komme ich auf: -8 3 -1
01.03.2011, 00:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nummeriere die As halt mal durch $\begin{eqnarray} A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 4 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun kommt die Permutationsmatrix dazu. Dann $\begin{eqnarray} A_1 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bis dahin waren wir gekommen. --------------------------------------------------- Nun gibst du nur Fragmente wieder. Diese werden sich auf den nun durchführbaren Gaussalgorithmus beziehen. $\begin{eqnarray} A_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ macht wenig Sinn. Es muss $\begin{eqnarray} A_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißen. 2Zeile - 2*Zeile1.
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