Faktorraum

01.03.2011, 12:09

Ibn Batuta

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Faktorraum

Seien $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum, $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \subseteq V \end{eqnarray*}$ Untervektorräume, $\begin{eqnarray*} \pi_i : V\to V\slash U_i, i=1,2 \end{eqnarray*}$ die kanonischen Projektionen und

$\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) : V\to V\slash U_1\times V\slash U_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\mapsto (\pi_1(x), \pi_2(x)) \end{eqnarray*}$

eine Abbildung.

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -linear, wenn man $\begin{eqnarray*} V\slash U_1\times V\slash U_2 \end{eqnarray*}$ mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation als $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum auffasst.

___________

Mein Beweis:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2)(x+y)=(\pi_1(x+y), \pi_2(x+y))=((x+y)+U_1, (x+y)+U_2))= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((x+U_1)+(y+U_1), (x+U_2)+(y+U_2))= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\pi_1(x)+\pi_1(y), \pi_2(x)+\pi_2(y)) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2)(\lambda\cdot x)=(\pi_1(\lambda\cdot x), \pi_2(\lambda\cdot x))=(\lambda\cdot x + \lambda\cdot U_1, \lambda\cdot x + \lambda\cdot U_2)=(\lambda\cdot(x+U_1), \lambda\cdot(x+U_2))= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lambda\cdot\pi_1(x), \lambda\cdot\pi_2(x)) \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -linear.

Ist das so korrekt? Danke euch. smile

smile

Ibn Batuta

01.03.2011, 12:12

kiste

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Dir ist doch bestimmt schon bekannt, dass die $\begin{eqnarray*} \pi_i \end{eqnarray*}$ linear sind, oder? Warum schreibst du es dann nochmals aus?
Ist aber natürlich trotzdem korrekt.

edit: Mhh, den letzten Schritt solltest du aber schon noch hinschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.03.2011, 12:16

Ibn Batuta

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Wow, danke für die superschnelle Antwort, kiste! Freude

Freude

Ja, das ist mir bewußt, aber ich dachte mir in der Seminararbeit mache ich lieber zu viel als zu wenig...

Meinst du mit dem letzten Schritt folgenden?

$\begin{eqnarray*} [...]=(\lambda\cdot\pi_1(x), \lambda\cdot\pi_2(x))=\lambda\cdot(\pi_1(x),\pi_2(x)) \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

01.03.2011, 12:19

kiste

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Genau und analog auch noch für die Summe.

01.03.2011, 12:36

Ibn Batuta

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Super, danke!

Als nächstes ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \text{ injektiv } \Leftrightarrow U_1\bigcap U_2=0 \end{eqnarray*}$

Mein Beweis für " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} v\in\ker(\pi_1, \pi_2) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (v+U_1, v+U_2)=(0+U_1, 0+U_2)=(U_1, U_2) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} v\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in U_2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v\in V\bigcap U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in V\bigcap U_2 \end{eqnarray*}$ . Daher ist $\begin{eqnarray*} \ker(\pi_1, \pi_2)=\{0\} \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung mit $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \ker(\pi_1, \pi_2)=\{0\}=(U_1, U_2) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U_1\bigcap U_2=\{0\} \end{eqnarray*}$ .

Ich befürchte jedoch, daß es noch einiges (vieles?) an dem Beweis zu verbessern gibt...

Ibn Batuta

01.03.2011, 13:11

C3P0

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Hallo,
deine Idee funktioniert eher für die " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "-Richtung, als für die " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "-Richtung.
Wahrscheinlich ist es aber sowieso am besten, dir zu überlegen, dass $\begin{eqnarray*} ker(\pi_1,\pi_2)=U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ , dann folgt die Behauptung wegen $\begin{eqnarray*} (\pi_1,\pi_2) \text{ injektiv } \Leftrightarrow ker(\pi_1, \pi_2)=\{0\} \end{eqnarray*}$ . Deine Idee liefert dir ja eigentlich schon die eine Inklusion.

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01.03.2011, 13:45

Ibn Batuta

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Hi C3P0,

an $\begin{eqnarray*} (\pi_1,\pi_2) \text{ injektiv } \Leftrightarrow ker(\pi_1, \pi_2)=\{0\} \end{eqnarray*}$ hatte ich auch schon gedacht, war mir aber nicht sicher, ob ich das annehmen darf. Darf ich das?

Ibn Batuta

01.03.2011, 13:56

C3P0

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Du hast doch oben schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} (\pi_1,\pi_2) \end{eqnarray*}$ eine K-lineare Abbildung von deinem Vektorraum V in den Raum $\begin{eqnarray*} V/U_1 \times V/U_2 \end{eqnarray*}$ ist. Und für jede K-lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi:V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ zwischen zwei K-Vektorräumen V und W gilt immer $\begin{eqnarray*} \phi \text{ injektiv } \Leftrightarrow ker \phi = \{0\} \end{eqnarray*}$ . Das kannst du dann hier anwenden.

01.03.2011, 15:14

Ibn Batuta

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Stimmt ja... Werde mich melden, sobald ich vorangeschritten bin.

Ibn Batuta

01.03.2011, 15:54

Ibn Batuta

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Hmm.. Tu mich mit der einen Inklusion noch etwas schwer. Mein Beweis bisher:

Aus i) folgt, daß $\begin{eqnarray*} (\pi_1,\pi_2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -linear ist. Da für jede $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi:V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ zwischen zwei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorräumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ immer gilt: $\begin{eqnarray*} \phi \text{ injektiv} \Leftrightarrow \ker \phi = \{0\} \end{eqnarray*}$ , genügt es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \ker(\pi_1,\pi_2)=U_1\bigcap U_2 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt die Behauptung.
Zeige Inklusion: " $\begin{eqnarray*} \ker(\pi_1,\pi_2)\subseteq U_1\bigcap U_2 \end{eqnarray*}$ ".
Sei $\begin{eqnarray*} v\in\ker(\pi_1, \pi_2) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (v+U_1, v+U_2)=(0+U_1, 0+U_2)=(U_1, U_2) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} v\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in U_2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v\in V\bigcap U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in V\bigcap U_2 \ \Rightarrow \ker(\pi_1, \pi_2)\subseteq U_1\bigcap U_2 \end{eqnarray*}$

Zeige Inklusion: " $\begin{eqnarray*} U_1\bigcap U_2 \subseteq \ker(\pi_1,\pi_2) \end{eqnarray*}$ ".
Sei $\begin{eqnarray*} v\in U_1\bigcap U_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in U_2 \end{eqnarray*}$ .

Hier weiß ich nicht, wie ich weiter ansetzen soll. Damit $\begin{eqnarray*} U_1\bigcap U_2 \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \ker(\pi_1,\pi_2) \end{eqnarray*}$ ist, muss doch der Schnitt von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ lediglich den Nullvektor enthalten.. Jemand einen Tipp, wie ich für den Beweis dieser Inklusion ansetzen kann?

Ibn Batuta

01.03.2011, 15:59

kiste

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Es gilt doch $\begin{eqnarray*} \pi_i(v) = 0 \end{eqnarray*}$ nach Definition der Projektionen falls $\begin{eqnarray*} v\in U_i \end{eqnarray*}$ liegt.

01.03.2011, 16:00

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Hier weiß ich nicht, wie ich weiter ansetzen soll. Damit $\begin{eqnarray*} U_1\bigcap U_2 \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \ker(\pi_1,\pi_2) \end{eqnarray*}$ ist, muss doch der Schnitt von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ lediglich den Nullvektor enthalten.. Jemand einen Tipp, wie ich für den Beweis dieser Inklusion ansetzen kann?

Man kann sich $\begin{eqnarray*} \ker(\pi_1, \pi_2) = U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ sehr kompakt überlegen: Nach Definition des Kerns ist $\begin{eqnarray*} v \in \ker(\pi_1, \pi_2) \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \pi_1(v) = U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi_2(v) = U_2 \end{eqnarray*}$ . Gerade das bedeutet ja $\begin{eqnarray*} \ker(\pi_1, \pi_2) = U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn Du jetzt schon aus der Vorlesung weißt, dass die injektivität eines Homomorphismus äquivalent ist zur Trivialität des Kerns, dann bist du fertig.

01.03.2011, 16:19

Ibn Batuta

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Aha!
Danke für eure beiden Antworten! Dann ist ja diese Inklusion leicht zu zeigen.

Zeige Inklusion: " $\begin{eqnarray*} U_1\bigcap U_2 \subseteq \ker(\pi_1,\pi_2) \end{eqnarray*}$ ".\\
Sei $\begin{eqnarray*} v\in U_1\bigcap U_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} v\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in U_2 \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} (\pi_1,\pi_2)(v)=(\pi_1(v),\pi_2(v))=(0,0) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \pi_1(v)=0 \ \forall v\in U_i \end{eqnarray*}$ nach Definition der kanonischen Projektionen $\begin{eqnarray*} \ \Rightarrow U_1\bigcap U_2 \subseteq \ker(\pi_1,\pi_2) \end{eqnarray*}$ .\\
\\
Somit gilt: $\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow U_1\bigcap U_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

01.03.2011, 17:51

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
[...] da $\begin{eqnarray*} \pi_1(v)=0 \ \forall v\in U_i \end{eqnarray*}$ nach Definition der kanonischen Projektionen [...]

Hier meintest Du wohl $\begin{eqnarray*} \pi_i \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sonst ist alles richtig.

01.03.2011, 19:18

Ibn Batuta

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Ja.. Natürlich. Freude

Freude

Oh Mann ey, ich bin von eurer Hilfe jedesmal begeistert. Vielen Dank, Jungs!

Ibn Batuta

02.03.2011, 12:08

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Leute,

$\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \text{ surjektiv} \Leftrightarrow U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$

Was mich hier stutzig macht.. Die kanonischen Projektionen $\begin{eqnarray*} \pi_i, \ i=1,2 \end{eqnarray*}$ sind doch ein Epimorphismus. verwirrt

verwirrt

Tipps, wie ich an diese Aufgabe rangehen kann?

Ibn Batuta

02.03.2011, 12:34

kiste

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Da fehlt links die Aussage Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2011, 12:40

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du genau, kiste? verwirrt

verwirrt

Die Aufgabe steht so in Bosch, Lineare Algebra, 2006 drin...

Ibn Batuta

02.03.2011, 12:50

C3P0

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Auf der rechten Seite deines Äquivalenzpfeiles steht keine Aussage, da soll sicherlich $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=V \end{eqnarray*}$ stehen, oder?

02.03.2011, 12:59

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups. Ja, da sollte in der Tat $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=V \end{eqnarray*}$ stehen!

Ibn Batuta

02.03.2011, 13:11

C3P0

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OK ^^.
Für die " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "-Richtung überlege dir mal, dass es für $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2)(w)=(v+U_1,U_2) \end{eqnarray*}$ gibt bzw. was daraus folgt.

Für die andere Richtung nimm dir wieder ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ her, das kannst du dann die Summe zweier Elemente aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ zerlegen. Folgere daraus, dass sowohl $\begin{eqnarray*} (v+U_1,U_2) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} (U_1, v+U_2) \end{eqnarray*}$ im Bild liegen, da das Bild ein Unterraum ist, folgt so die Behauptung.
Alternativ kannst du auf diese Art und Weise auch für jedes $\begin{eqnarray*} (v+U_1,w+U_2) \end{eqnarray*}$ ein Urbild konstruieren, das ist aber mehr Schreibarbeit.

Grüße

02.03.2011, 13:13

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort! Werde mal darüber nachdenken. smile

smile

Ibn Batuta

02.03.2011, 14:17

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Also..

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
Für $\begin{eqnarray*} v\in V \ \exists w \in V : (\pi_1,\pi_2)(v)=(\pi_1(v),\pi_2(v))=(w+U_1, 0+U_2)=(w+U_1, U_2) \end{eqnarray*}$
Das bedeutet doch, daß $\begin{eqnarray*} v\in\text{ker}(\pi_2) \end{eqnarray*}$ ist. Was kann ich damit aber anfangen? verwirrt

verwirrt

Ibn Batuta

02.03.2011, 14:50

C3P0

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt für jedes $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ein w mit
$\begin{eqnarray*} (v+U_1,U_2)=(\pi_1(w),\pi_2(w))=(w+U_1,w+U_2) \end{eqnarray*}$ .
Damit folgt $\begin{eqnarray*} v+U_1=w+U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w+U_2=U_2 \end{eqnarray*}$ .
Es ist also $\begin{eqnarray*} w \in ker(\pi_2)=U_2 \end{eqnarray*}$ , nicht v.
Was folgt außerdem aus $\begin{eqnarray*} v+U_1=w+U_1 \end{eqnarray*}$ ?

02.03.2011, 15:10

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ja.. Weiß nicht, warum ich mich so blöd anstelle und etwas sinnfreies wie $\begin{eqnarray*} (\pi_1,\pi_2)(v) \end{eqnarray*}$ hinschreibe und damit etwas anstellen möchte. Sorry!

Aus $\begin{eqnarray*} v+U_1=w+U_2 \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} v=w \end{eqnarray*}$ ist. Da $\begin{eqnarray*} w\in\ker(\pi_2)=U_2 \end{eqnarray*}$ ist, folgt, daß $\begin{eqnarray*} v\in\ker(\pi_2)=U_2 \end{eqnarray*}$ ist. Blöde Frage, aber.. was sind die Schlussfolgerungen daraus? Und wie kam hier die Surjektivität ins Spiel?

Ibn Batuta

02.03.2011, 15:15

C3P0

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Aus $\begin{eqnarray*} v+U_1=w+U_2 \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} v=w \end{eqnarray*}$ ist.

Nein, das folgt allgemein nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} v+U_1 = w+U_1 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} v-w\in U_1 \end{eqnarray*}$ ist. Dabei können also v und w verschieden sein.

03.03.2011, 16:31

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von C3P0
Nein, das folgt allgemein nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} v+U_1 = w+U_1 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} v-w\in U_1 \end{eqnarray*}$ ist. Dabei können also v und w verschieden sein.

Woher weiß ich das, C3P0?

Ibn Batuta

03.03.2011, 18:30

C3P0

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist $\begin{eqnarray*} v+U_1 \end{eqnarray*}$ die Nebenklasse von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v+U_1=\{v+u:u\in U_1\} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist, ist $\begin{eqnarray*} 0 \in U_1 \end{eqnarray*}$ . Also ist Insebsondere $\begin{eqnarray*} v = v+0 \in v+U_1 \end{eqnarray*}$ .
Ist also $\begin{eqnarray*} v+U_1=w+U_1 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} v\in w+U_1=\{w+u:u\in U_1\} \end{eqnarray*}$ . Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} u\in U_1 \end{eqnarray*}$ mit v=w+u. Also folgt $\begin{eqnarray*} v-w=u\in U_1 \end{eqnarray*}$ .
Ist umgekehrt $\begin{eqnarray*} v-w \in U_1 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} w+U_1=\{ w+u:u\in U_1\}=\{w+((v-w)+u):u\in U_1\}=\{v+u:u\in U_1\}=v+U_1 \end{eqnarray*}$ .

Alternativ kann man den Faktorraum auch so definieren, dass man auf V eine Relation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ einführt mit $\begin{eqnarray*} v \sim w \Leftrightarrow v-w \in U \end{eqnarray*}$ . Eventuell habt ihr das ja auch so gemacht.

Auf die Aufgabe angewandt heißt das:
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v-w \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \in U_2 \end{eqnarray*}$ .

Grüße

03.03.2011, 18:53

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay! Danke für deine Erklärungen, C3P0. Freude

Freude

Ibn Batuta

04.03.2011, 14:20

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte ich mal $\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \text{ surjektiv} \Leftrightarrow U_1 + U_2=V \end{eqnarray*}$ gezeigt haben (hoffentlich bald!), ist als nächstes

$\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \text{ bijektiv} \Leftrightarrow U_1 \oplus U_2=V \end{eqnarray*}$

dran. Da kann ich doch dann die vorher gezeigten Ergebnisse verwenden und dies automatisch folgern oder?

Ibn Batuta

04.03.2011, 14:29

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

smile

04.03.2011, 14:41

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Richtig. smile

smile

Danke für deine Antwort. Freude

Freude

Jetzt muß ich "nur" noch diese Surjektivitätsgeschichte zeigen. Big Laugh

Big Laugh

Ibn Batuta

16.03.2011, 00:31

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin noch immer bei der Surjektivität.... $\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \text{ surjektiv } \Leftrightarrow V=U_1+U_2 \end{eqnarray*}$

Zeige " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
$\begin{eqnarray*} \forall v\in V \ \exists w\in V : \ (\pi_1,\pi_2)(w)=(v+U_1,U_2)=(\pi_1(w),\pi_2(w))=(w+U_1, w+U_2) \ \Rightarrow w\in\ker(\pi_2)=U_2 \text{ und } v+U_1=w+U_1 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, daß $\begin{eqnarray*} v-w\in U_1 \end{eqnarray*}$ ist.
Frage: Was habe ich daraus nun gewonnen? Wie(so) sollte ich überhaupt auf $\begin{eqnarray*} (\pi_1,\pi_2)(w)=(v+U_1,U_2) \end{eqnarray*}$ kommen? verwirrt

verwirrt

Und wie kann ich von diesem Schritt nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=V \end{eqnarray*}$ ist?

Ibn Batuta

16.03.2011, 02:15

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Richtung " $\begin{eqnarray*} \implies \end{eqnarray*}$ ": Wähle einen beliebigen Vektor in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , den Du als $\begin{eqnarray*} u - u' \in V \end{eqnarray*}$ schreibst (das geht immer). Was folgt aus der Surjektivität von $\begin{eqnarray*} (\pi_1, \pi_2) \end{eqnarray*}$ für das Element $\begin{eqnarray*} (u + U_1, u' + U_2) \end{eqnarray*}$ ?

16.03.2011, 10:42

C3P0

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Was habe ich daraus nun gewonnen?

Du musstest für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ zeigen, dass du es als $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1, u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$ schreiben kannst. Jetzt hast du ein $\begin{eqnarray*} w\in V \end{eqnarray*}$ konstruiert, dass $\begin{eqnarray*} v-w \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \in U_2 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Es ist $\begin{eqnarray*} v=(v-w)+w \end{eqnarray*}$ . Das ist doch genau das, was du wolltest.
Grüße

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