Matrix Rang Kern Dimension Determinante

01.03.2011, 14:16	Anniiii	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Rang Kern Dimension Determinante Meine Frage: Hallo, Ich bin leider etwas verwirrt durch die ganzen Begriffe Rang,Kern,Dimension etc.Wäre toll wenn sie mir jemand mit einfachen verständlichen Worten erklären könnten, da mir die ganzen Definitionen noch mehr Fragezeichen im Kopf aufgehen lassen. Habe hier zwei Beispiele: Einmal die Matrix A: ( 0 4 -3 ) Und die Matrix B ( 1 3 1 ) ( 2 5 -1 ) ( 1 4 3 ) ( 1 3 -1 ) ( 2 3 -4) Meine Ideen: Also gefragt sind Dimension, Kern, Rang, Invertierbarkeit und die Determinante. Fangen wir zunächst bei der Determinante an: Die wäre ja bei A ungleich 0 und bei Matrix B gleich 0. Was bedeutet das jetzt aber? Kann ich dadurch sagen nur die Matrix A ist invertierbar und B nicht oder wäre das zu voreilig? Der Rang müsste ja die Anzahl der Pivotelemente sein oder? Also bei Matrix A nach gaußumformung ( 1 3 -1 ) ( 0 -1 1 ) (0 0 1 ) Nun 3 oder? B würde nach der Gaußumformung ja so aussehen: ( 1 3 1 ) ( 0 1 2 ) ( 0 0 0 ) Also wohl Rang 2 Weiterhin ist mir aber völlig unklar wie ich auf den kern schließen soll und ob die Matrix invertierbar ist? Bitte um Hilfe!! Vielen Dank
01.03.2011, 15:13	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ränge stimmen, falls du dich nicht verrechnet hast. Für den Kern, siehe folgenden Beitrag: kern einer matrix Die Aussagen bezüglich der Determinante mußt du allerdings noch begründen. Ibn Batuta
01.03.2011, 16:23	Anniii*	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist mit Kern praktisch gemeint mit welchem Vektor ich die Matrix multiplizieren muss um den Nullvektor zu erhalten?Dann wäre es ja bei meiner Matrix A nur der Nullvektor selbst oder?Weil ich ja x1,x2 und x3 berechnen kann. Und wenn in einer Zeile nur Nullen stehen muss es dann automatisch einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor geben mit dem ich die Matrix multiplizieren kann? Kann sein dass ich da jetzt Unsinn mir zusammendichte , ich hoffe mir kommt noch die Erleuchtung Puhh und das Mit der Determinate und der Begründung ist mir noch ein Rätsel Wenn die Determinante ungleich Null ist kann ich doch darauf wiederum schließen dass der rang den vollen rang der Matrix besitzt oder? Kann man vielelicht nur beim vollen rang invertieren ? Und wenn ich eine Matrix invetieren würde müsste ja die determinante den kehrwert haben und bei 0 ist dies ja auch nicht möglich oder? Ohjeee hilfe umso mehr ich denke umso verwirrter werde ich
01.03.2011, 19:28	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente. Wenn die Matrix also keinen vollen Rang hat, dann ist die Determinante 0 und somit nicht invertierbar. Zum Kern: Du hast hier eine Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 4 & -3 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & 3 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Der Kern von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ beträgt $\begin{eqnarray} \text{Ker}(\mathbf{A}) = \left\{ \textbf{x}\in\textbf{K}^n : \mathbf{A}\textbf{x} = \textbf{0} \right\}\text{.} \end{eqnarray}$ Ibn Batuta

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