Wahrscheinlichkeit

01.03.2011, 14:59

space_bernsen

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Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo,

ich bin am verzweifeln aber vielleicht kann man mir ja hier helfen.

Die aufgabe lautet: Die Füllmenge von 100ml Flaschen ist normalverteilt. Die Wahrscheinlichkeit dafür das die Füllmenge zwischen 97,5 und 102,5 ml liegt sei 76,8%.
a) berechne die Standardabweichung
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit das die Füllmenge unter 98ml liegt.

Meine Ideen:
leider habe ich so gar keine ahnung wie ich die Standardabweichung mit diesen angaben berechnen soll.

Für den zweiten teil der Aufgabe brauche ich die Standardabweichung auch soweit ich weiß. hier sieht mein Lösungsansatz so aus:

P(x<=98) = P(U<= ((98-100)/100)).

den erhaltenen wert sucht man in der Standardnormalverteilungstabelle und subtrahiert ihn von 1. diesen Wert multipliziert man mit 100 und man hat den prozentuallen Anteil. Glaub ich jedenfalls.

obwohl die rechnung recht trivial erscheint versage ich auf ganzer linie.

danke schon mal im vorraus

01.03.2011, 15:49

dinzeoo

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hi..
für a)
wenn man die aufgabe ganz exakt nimmt, geht das so leicht glaub ich nicht.

$\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$

gesucht ist:

$\begin{eqnarray*} P(97.5\leq X \leq 102.5)=0.768 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow P(X\leq 102.5)-P(X\leq 97.5)=0.768 \end{eqnarray*}$

jetzt standardisieren:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow P(X^*\leq \frac{102.5-\mu}{\sigma})-P(X^*\leq \frac{97.5-\mu}{\sigma})=0.768 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} X^*\sim N(0,1) \end{eqnarray*}$

sprich eine gleichung mit zwei unbekannten, vll bin ich aber gerade auch zu blöd und vergess irgend ne umformung verwirrt

verwirrt

naja, ich geh auf jeden fall davon aus, dass man den erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu=100 \end{eqnarray*}$
setzen soll. damit kannst dann die aufgabe lösen.

01.03.2011, 16:36

spacebernsen

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RE: Wahrscheunlichkeit
Danke für die schnelle Antwort

O.K. ich setze $\begin{eqnarray*} \mu=100 \end{eqnarray*}$ das hab ich soweit verstanden.
Und wir errechnen und die standardabweichung mit der differenz von 102,5 und 97,5 soweit is ja alles klar.

aber was heißt denn $\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ ?

Und was bedeutet das P und das X in der Formel P(X *........) - P(X*.........) ?

und was muß ich jetzt noch machen ich versteh das alles nicht.

02.03.2011, 12:03

Zündholz

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RE: Wahrscheunlichkeit

Zitat:

Original von spacebernsen
$\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ ?

Bedeutet X ist Normalverteilt zum Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} X^* \end{eqnarray*}$ ist dementsprechend standartnormalverteilt.
Da du ja jetzt die Standartabweichung kennst, kannst du ja wieder über Standartisierung (so wie oben vorgeführt) gehen und damit die Wahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} P(X \le 98) \end{eqnarray*}$

ausrechen.

02.03.2011, 18:42

space_bernsen

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Wie kommst du denn darauf das ich die Standardabweichung kenne?
bin echt nen Matheversager der den Wald vor Bäumen nicht sieht.
Könnte jemand so gut sein und es für nen Mathevollidioten erläutern ich sitz jetzt schon seit zwei tagen an dieser Aufgabe und befürchte das ich die nacht von Getränkeabfüllanlagen träume.
Bitte helft mir!

02.03.2011, 18:53

Zündholz

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RE: Wahrscheunlichkeit

Zitat:

Original von spacebernsen
O.K. ich setze $\begin{eqnarray*} \mu=100 \end{eqnarray*}$ das hab ich soweit verstanden.
Und wir errechnen und die standardabweichung mit der differenz von 102,5 und 97,5 soweit is ja alles klar.

Ich dachte da hätte ich rausgehört, dass du die schon berechnet hast. Also du kennst ja den Mittelwert (der ist ja 100). Setze den mal in
$\begin{eqnarray*} P(X^*\leq \frac{102.5-\mu}{\sigma})-P(X^*\leq \frac{97.5-\mu}{\sigma})=0.768 \end{eqnarray*}$

Weißt du wie man dann die Differenz zusammenfasst (betrachte dazu am besten die Symetrie der standardnormalverteilung um die Null)?

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02.03.2011, 19:16

space_bernsen

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RE: Wahrscheunlichkeit
wie rechne ich denn mit > < ?

habe die formel nach sigma umgestellt wie geht es jetzt weiter steh echt auf`n schlauch.

02.03.2011, 23:21

Zündholz

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RE: Wahrscheunlichkeit

Zitat:

Original von space_bernsen
wie rechne ich denn mit > < ?

Ich versteh nicht ganz was du meinst?
Kannst du viellercht hinschreiben was du berechnet hast oder wo du gerade bist?

Zitat:

Original von space_bernsen
habe die formel nach sigma umgestellt wie geht es jetzt weiter steh echt auf`n schlauch.

Jast du also jetzt sowas dastehen wie $\begin{eqnarray*} \sigma = \ldots \end{eqnarray*}$ ?
Schreib am besten wo du momentan bist.

Schönen Abend und bis morgen
Zündholz

03.03.2011, 10:33

space_bernsen

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RE: Wahrscheunlichkeit
meine nach sigma umgestellte formel sieht so aus

$\begin{eqnarray*} sigma=\sqrt{(Px*\leq P*2,5-Px\leq P*(-2,5))/0,768} \end{eqnarray*}$

ich hoffe das ich das richtig gemacht habe. Nun habe ich noch 2* <= in meiner formel und weiß nicht mehr weiter.

03.03.2011, 12:37

dinzeooo

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RE: Wahrscheunlichkeit

Zitat:

Original von space_bernsen
meine nach sigma umgestellte formel sieht so aus

$\begin{eqnarray*} sigma=\sqrt{(Px*\leq P*2,5-Px\leq P*(-2,5))/0,768} \end{eqnarray*}$

ich hoffe das ich das richtig gemacht habe. Nun habe ich noch 2* <= in meiner formel und weiß nicht mehr weiter.

unabhängig das ich deine notation überhaupt nicht verstehe, gehe ich davon aus das es falsch ist.

hier paar tipps:
lies dir unter wikiepedia die normalverteilung durch, natürlich nicht alles, zumindestens soviel das du vll einen groben durchblick bekommst. schau dir auch speziell den teil mit der standardnormalverteilungstabelle an.

mal ein crash kurs um den wikilink etwas leichter zu verstehen:

die normalverteilung hängt von zwei parametern ab und zwar dem erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und die varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ . aus der varianz lässt sich durch wurzelziehen die standardabweichung bestimmen. eine andere verteilung kann übrigens von anderen parametern abhängen, nur so am rande.

ziel in der schulmathematik ist es oft so etwas zu bestimmten (X wie gesagt normalverteilt):

$\begin{eqnarray*} P(X\leq c)= \end{eqnarray*}$ wahrscheinlichkeit das die zufallsvariable X kleiner gleich c ist. X hat natürlich eine bedeutung, in unserem fall entsprich X=füllmenge. (mehr brauchst du über zufallsvariablen vermutlich nicht wissen).

das problem bei der normalverteilung ist nun, das man $\begin{eqnarray*} P(X\leq c) \end{eqnarray*}$ nicht so einfach per hand berechnen kann (grund: der ausdruck ist ausgeschrieben ein integral welches sich nur approximativ lösen lässt, kann dir aber auch egal sein).
jetzt weiss man anhand der theorie über die normalverteilung(auch alles unwichtig für dich), dass man X standardisieren kann. du kannst dir das so vorstellen, X ist normalverteilt mit erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ , nun formt man das so um, dass X* normalverteilt ist mit $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2=1 \end{eqnarray*}$ und folgendes gilt(wichtig!):

$\begin{eqnarray*} P(X\leq c)=P(X^*\leq \frac{c-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

auf den ersten blick wird das für dich vermutlich nicht viel aussagen bzw. dir wenig sinn machen. der sinn ist aber folgender, jede normalverteilungsaufgabe kann man so auf ein problem mit normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2=1 \end{eqnarray*}$ reduzieren (diese wird dann übrigens standardnormalverteilung genannt, kurz normalverteilung mit erwartungswert =0 und varianz = 1 ist gleich standardnormalverteilung (wichtig!!!)).

dieser ausdruck

$\begin{eqnarray*} P(X^*\leq \frac{c-\mu}{\sigma})=P(X^*\leq c^*)=\Phi(c^*) \end{eqnarray*}$

lässt sich aber genauso wenig leicht berechnen wie der obige. ABER um das auszurechnen gibt es eine tabelle der standardnormalverteilung. dort sind für alle relevanten $\begin{eqnarray*} c^* \end{eqnarray*}$ die lösungen aufgeschrieben. zusammenfassend:
möchte man eine wahrscheinlichkeit berechnen deren zufallsvariabele normalverteilt ist, transfomiert man sie zuerst in eine standardnormalverteilung um und schaut danach in die tabelle.

wieder zurück zu deiner aufgabe:

standardisiert habe ich schon, sprich:

$\begin{eqnarray*} P(X^*\leq \frac{102.5-\mu}{\sigma})-P(X^*\leq \frac{97.5-\mu}{\sigma})\approx 0.768 \end{eqnarray*}$

ist zu bestimmen. wissen tun wir aber das der erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu=100 \end{eqnarray*}$ ist. (übrigens nehm ich das nur an, aus meiner sicht wird das in der aufgabe garnicht deutlich, aber ohne diese annahme wird die aufgabe für euch nicht lösbar sein)

ok, jetzt setz ich den erwartungswert mal ein, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} P(X^*\leq \frac{2.5}{\sigma})-P(X^*\leq \frac{-2.5}{\sigma})\approx0.768 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \Phi(\frac{2.5}{\sigma})- \Phi(\frac{-2.5}{\sigma})\approx 0.768 \end{eqnarray*}$

mit der symmetrie die zündholz angesprochen hat (ebenfalls in dem wikiartikel erklärt) folgt:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \Phi(\frac{2.5}{\sigma})-(1- \Phi(\frac{2.5}{\sigma}))\approx 0.768 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2\Phi(\frac{2.5}{\sigma})- 1\approx 0.768 \end{eqnarray*}$

und jetzt bist du wieder dran. du muss die letzte gleichung nach $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ umstellen, dazu musst du aber in die tabelle der standardnormalverteilung gucken. für welches $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ gilt also diese gleichung. sobald du $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ hast, ist a) gelöst, b) ist easy im vergleich....

03.03.2011, 13:12

dinzeooo

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damit du vll auch mal bisschen besser mit der notation von zufallsvariablen klar kommst, folgender link:

ww.matheboard.de/thread.php?threadid=19025&hilight=zufallsvariable

speziell der beitrag von leopold, den ich sehr gelungen finde....

03.03.2011, 20:37

space_bernsen

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erst einmal Danke das du dir soviel zeit für mich genommen hast.

Wenn ich die Formel umforme sieht diese so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2,5}{\frac{1,768}{2\Phi} } = {\sigma} \end{eqnarray*}$

ich hoffe das ich die formel richtig umgeformt habe.

Das mit der Standardnormalverteilungstabelle habe ich noch nicht richtig verstanden wo muß ich jetzt nachschauen?

Habe jetzt bei z 1 und * 0 nachgeschaut (0,84134)
wenn ich diesen wert einsetze erhalte ich 2,37 ml ich denke das ist eine recht hohe Standardabweichung bei 100 ml.

03.03.2011, 21:03

space_bernsen

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für Aufgabe b habe ich den folgenden lösungsansatz leider komme ich nicht auf das richtige ergebnis:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 98) = P(U\leq \frac{98-100}{2,37})<br /> =P(U\leq -0,8439)<br /> =1-P(U\leq 0,8439)<br /> =1-\Phi(0,8439)<br /> =1-0,78814<br /> =0,21186<br /> =21,186%<br /> \end{eqnarray*}$

21,186 % das die füllmenge unter 98ml kann aber nicht richtig sein da man ja davon ausgehen muß das 38,4 % unter 97,5 liegen ich denke ich habe in der Standardnormalverteilungstabelle bei der berechnung von sigma einen falschen wert genommen.
welchen wert muß ich nehem und warum?

04.03.2011, 02:27

dinzeoo

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Zitat:

Original von space_bernsen
$\begin{eqnarray*} \frac{2,5}{\frac{1,768}{2\Phi} } = {\sigma} \end{eqnarray*}$

ne, so geht das nicht... $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ ist eine funktion, da kannst nicht einfach was rein und rausziehen wie du willst. kann sein das du das richtige meinst, aber so darf man das nicht anschreiben. richtig ist es so:

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(\frac{2.5}{\sigma})- 1\approx 0.768 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \Phi(\frac{2.5}{\sigma})\approx \frac{1.768}{2}\approx 0.884 \end{eqnarray*}$ (**)

jetzt schaust du in die tabelle, hier zu finden:

de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

und suchst den z-wert der 0.884 am nähesten kommt, nennen wir ihn z* (ist eine zahl zwischen 0.5 und 1.5, soviel verrate ich schonmal). wenn du den gefunden hast dann weisst du:

$\begin{eqnarray*} \Phi(z^*)\approx 0.884 \end{eqnarray*}$

d.h. (siehe **)

$\begin{eqnarray*} z^*=\frac{2.5}{\sigma} \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du ganz normal wie du es kennst nach $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ umformen.

zu b)
deine lösung ist natürlich nicht ganz richtig da dein sigma falsch ist. die rechnung sonst sieht aber gut aus. nochwas:

Zitat:

21,186 % das die füllmenge unter 98ml kann aber nicht richtig sein da man ja davon ausgehen muß das 38,4 % unter 97,5 liegen

woher kommen die 38.4%? das einzige das wir wissen:
zwischen 97.5 und 102.5 liegt 76,8% d.h. unter 97.5 UND über 102.5 liegen 23,2%. d.h. (da die normalverteilung symmetrisch ist um den erwartungswert 100) das unter 97.5ml 23.2/2 =11.6% liegen. unter 98ml liegen folglich paar prozent mehr!
aber wieviel es genau sind darst dann nochmal alleine versuchen.

04.03.2011, 09:01

space_bernsen

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Vielen vielen dank das du dich so geduldig mit mir auseinander gesetzt hast.

ich glaube ich habe die Lösung nun.

Ist es richtig das z*=1,2 beträgt?

wenn ich das einsetze erhalte ich 2,08333 ml

Was b angeht hast du natürlich recht 76,8 % des Inhalts liegen zwischen 97,5 und 102,5. Folglich muß der Rest 23,2 % über oder unter 97,5 bzw 102,5 liegen. Wenn wir von einer Normalverteilung ausgehen dann also 11,6 % in jede Richtung. Denach muß der errechnete Wert wie du auch schon meintest über 11,6% betragen.

wenn ich das neue sigma in meine Formel einsetze erhalte ich für den prozentualen anteil das der inhalt unter 80% liegt:

15,866

Ist das richtig?

04.03.2011, 12:33

Dinzeoo

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Zitat:

Original von space_bernsen

wenn ich das einsetze erhalte ich 2,08333 ml
[quote]
jepp, das passt als standardabweichung.

[quote]
wenn ich das neue sigma in meine Formel einsetze erhalte ich für den prozentualen anteil das der inhalt unter 80% liegt:

15,866

Ist das richtig?

wieso 80%? gesucht ist bei der b) doch unter 98%....

und da kommt als lösung 16.853% raus...

05.03.2011, 11:59

space_bernsen

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Ui verdammt natürlich 98%!
damit habe ich ja auch gerechnet aber falsch in der Standardnormalverteilungstabelle nachgeschlagen. wenn ich also bei 0,96 nachschaue finde ich den Wert 0,83147. Diesen wert ziehe ich von 1 ab und dann habe ich auch schon die 16,853%.

Nochmals vielen vielen Dank an Dich Gott

Gott

Freude

05.03.2011, 18:40

dinzeoo

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Zitat:

Original von space_bernsen
Ui verdammt natürlich 98%!
damit habe ich ja auch gerechnet aber falsch in der Standardnormalverteilungstabelle nachgeschlagen. wenn ich also bei 0,96 nachschaue finde ich den Wert 0,83147. Diesen wert ziehe ich von 1 ab und dann habe ich auch schon die 16,853%.

Freude

Nochmals vielen vielen Dank an Dich Gott

Gott

Freude

[/quote]

kein ding...

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