Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden

01.03.2011, 17:53

studYY

Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden

Hallo miteinander smile

Aufgabe:
Wähle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass sich gt und ht schneiden (windschief sind).

1.
$\begin{eqnarray*} gt: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ -3t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ht: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end {pmatrix} + q * \begin{pmatrix} 2 \\ 2t \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ansatz:

I.:
$\begin{eqnarray*} 3 + 3p = 1 + 2q \end{eqnarray*}$
II.:
$\begin{eqnarray*} 4 - 6p = 5 + 2qt \end{eqnarray*}$
III.:
$\begin{eqnarray*} 2 - 3pt = 4 + 4q \end{eqnarray*}$

I. * 2
I. + II.

Führt zu:
10 = 7 + 4q + 2qt

Hier ist mein Problem, kann ich 4q und 2qt zusammenfassen?
Wenn "nicht", wie kann ich dann weiter machen?
Oder war der ganze Ansatz falsch?

Ich hoffe ihr könnt mir wieder helfen smile

Dankeschön.

01.03.2011, 17:55

riwe

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
du kannst 2q heraus heben

01.03.2011, 18:05

studYY

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
Danke, dass du dich meldest riwe smile

Meinst du mit heraus heben, ausklammern?

10 = 7 + 2q(2+t)

Kann ich die 2q jetzt rüberbringen, indem ich einfach durch 2q dividiere?

01.03.2011, 18:15

riwe

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
ich würde eher so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} 2q=\frac{3}{2+t} \end{eqnarray*}$

womit schon einmal ersichtlich ist, welchen wert t nicht annehmen sollte.

jetzt brauchst du noch eine 2. ähnliche gleichung

01.03.2011, 18:33

studYY

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
t sollte also nicht -2 sein.

Aber nochmal zum Verstädnis, ich muss also Werte für die Variablen q, p und t finden.
Aber aus den Gleichungen gibt es keine Möglichkeit zwei Variablen auszuschalten, damit man für die verbleibende Variable einen festen Wert findet, der nicht von anderen Variablen abhängig ist.
Oder doch?

I. * 2
II. - I.

Führt zu:
-1 - 3pt - 3p = 3
-3p ( t + 1) = 4 | : ( t + 1)
$\begin{eqnarray*} -3p=\frac{4}{t+1} \end{eqnarray*}$

01.03.2011, 18:47

riwe

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
ich hätte es so gemacht:
aus 1) 3p = 2q - 2

das setzt du jetzt in 2) und 3) ein und eliminierst q.

01.03.2011, 19:13

studYY

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
Hm. Es wird immer schwieriger für mich hier durchzublicken,
Aber okey, in die 2.Gleichung eingesetzt:

II. : 2
$\begin{eqnarray*} 2-3p = 2.5 +qt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 - (2q-2) = 2.5 + qt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 - 2q + 2 = 2.5 + qt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2q + 4 = 2.5 + qt | - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2q = -2.5 + qt | : q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 = -2.5 + t | + 2.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = 0.5 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

01.03.2011, 19:56

riwe

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
ich verliere auch schön langsam den überblick

aus 1) $\begin{eqnarray*} 3p = 2q - 2 \end{eqnarray*}$
in 2) einsetzen ergibt $\begin{eqnarray*} 4-2(2q-2)=5+2qt\to 2q=\frac{3}{2+t} \quad{ }t\neq-2 \end{eqnarray*}$

in 3) einsetzen liefert $\begin{eqnarray*} 2-t(2q-2)=4+4q\to 2q=\frac{2t+2}{2+t} \end{eqnarray*}$

das würde ( !) auch $\begin{eqnarray*} t=0.5 \end{eqnarray*}$ ergeben

der weg ist das ziel smile

01.03.2011, 21:01

studYY

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
Wow, super riwe smile

Ich sitze schon die ganze Zeit dran, aber ich kann den Schritt noch nicht nachvollziehen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2-t(2q-2)=4+4q\to 2q=\frac{2t+2}{2+t} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf 2q = ...

Vielleicht mache ich es mir zu kompliziert verwirrt

Oder es ist einfach kompliziert Augenzwinkern

01.03.2011, 21:07

riwe

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden

Zitat:

Original von studYY
Wow, super riwe smile

Ich sitze schon die ganze Zeit dran, aber ich kann den Schritt noch nicht nachvollziehen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2-t(2q-2)=4+4q\to 2q=\frac{2t+2}{2+t} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf 2q = ...

Vielleicht mache ich es mir zu kompliziert verwirrt

Oder es ist einfach kompliziert Augenzwinkern

wieso wir haben eh dasselbe ergebnis

ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} 2-2tq+2t=4+4q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2t-2=2q(t+2) \end{eqnarray*}$

ja da hast du natürlich recht,
da sind wir uns auch bei den fehlern einig Augenzwinkern

also: der weg ist das ziel

01.03.2011, 22:28

studYY

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
Okey, ich hoffe das wir uns bei t = 0.5 auch einig sind?

Wenn ich nun versuche p und q mit dem Taschenrechner (LGS) und dem Wert 0.5 für t zu ermitteln, erhalte ich einen Fehler.

Das bedeutet es gibt keinen Schnittpunkt oder?

Zitat:

Aufgabe: Wähle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass sich gt und ht schneiden (windschief sind).

Das heißt sie werden wohl windschief sein.

PS.

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} 2t-2=2q(t+2) \end{eqnarray*}$

Das läuft aber nicht auf das hinaus:

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} 2-t(2q-2)=4+4q\to 2q=\frac{2t+2}{2+t} \end{eqnarray*}$

Bei Ersterem: 2q = 2t - 2 / (2 + t)
Bei Letzterem: 2q = 2t + 2 / (2 + t)

Vielen Dank für deine Hilfe und Bemühung schonmal smile

01.03.2011, 23:12

riwe

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
ich fürchte, wenn man unsere gemeinsamen bemühungen zu ende denkt, heißt es $\begin{eqnarray*} t=2.5 \end{eqnarray*}$

aber heute bin ich schon zu müde

01.03.2011, 23:41

studYY

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
Okey, vielen dank für deine Hilfe und deine Geduld smile

Schlaf schön und erhol dich gut Augenzwinkern

02.03.2011, 09:26

riwe

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RE: Parameter bestimmen, damit sich zwei Geraden schneiden
guten morgen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} t=2.5\to S(\frac{5}{3}/\frac{20}{3}/\frac{16}{3}) \end{eqnarray*}$
ist korrekt, wie man an der probe = bestimmung des schnittpunktes sieht

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